POUTRES AMÉRICAINES DU SYSTÈME DE HOWE
438. Les poutres américaines du système de Howe sont composées comme il suit :
Deux longerons, l'un supérieur A A', l'autre inférieur BB';
Des boulons équidistants HN, M'N\ qui tendent à rapprocher les deux longerons, et dont on peut régler à volonté le serrage ;
Des croisillons EF, E'F dans chaque entre-boulon; ils butent
contre des coussînetsE,E', F, F\ traversés par les boulons; les croisillons s'opposent au rapprochement des longerons. L'intervalle de deux boulons consécutifs, MN , M'N', est appelé panneau ou entreboulon. Les poids qui sollicitent la ferme peuvent être supposés
concentrés sur les boulons HN, M^N' ,
Tel est le système réduit à ses parties essentielles ; mais on peut former une poutre américaine à doubles croisillons ou à triples croisillons, comme les figures ci-dessous le représentent Ces systèmes
jr!g« 870,
AMEIUCAINES. 777
sont dérivés du système à croisillons simples, que nous nous bornerons à étudier avec quelque détail.
A36. Supposons une poutre américaine chargée de poids et posée sur deux ou sur plus de deux appuis de niveau. Coupons cette poutre par deux plans verticaux, perpendiculairement à l'axe de la pièce, et menés par les milieux de deux entre-boulons consécutifs ; puis mtroduisoDs dans les sections rencontrées par ces plans sécants des forces égales aux actions moléculaii'es supprimées par la coupure.
Appelons H^ la force de compression du longeron supérieur dans Tentre-boulon n"" k ;
Fi, la force d'extension dans le longeron inférieur dans ce même entre-boulon ;
Pj^; la force de compression de la barre qui monte de gauche à droite dans Fentre-boulon n* k ;
Qu la force de compression de la barre qui descend de gauche à droite dans ce même entre-boulon..
Les mêmes lettres avec l'indice k — i désigneront les forces analogues dans l'eutre^boulon n"" {k — 1) , à gauche de l'entre-boulon
La force B* représente la tension du boulon AB qui sépare les
Pig. 371.
entre-boulons n* (A — i) et n* A ; nous lui donnons l'indice de l'entreboulon situé à sa droite.
Appelons encore :
a l'angle constant formé par les barres des croisillons avec la verticale;
p le poids supporté par la poutre par unité de longueur ; nous le
STipposerons constant Si p était variable, il faudrait au moins qu'il fût constant dans tout rinteryalle compris entre les milieux de deux entre-boulons successifs, et Ton devrait lui donner Tindice du boulon qui partage en deux la longueur à laquelle le poids p se rapporte ; cette hypothèse revient à supposer les charges concentrées sur les boulons ;
a la longueur constante d'un entre-boulon quelconque;
h la hauteur de la poutre, mesurée verticalement entre les lignes
d'axe des deux longerons.
Nous pourrons écrire les conditions d'équilibre, qui sont au nombre de trois :
Équation des composantes horizontales :
Ilk-j — Ft . , H- Pfc, sin a + Qt, sin a = H» — F^ + P» sin a + Qi sin «.
Équation des composantes verticales :
Pi-i CCS a + Qi cos oc = pa + Qt, ces « + P» C08 a.
Équation des moments par rapport à un point quelconque^ par rapport au point B, par exemple :
(Ht-, — Uk)h + (P»-i — Qk)h sin a = 0.
â37. Ces trois équations ne comprennent pas R« ; pour déterminer <-.ette force, il faut supposer le boulon coupé, et poser les équations d'équilibre des forces qui agissent sur l'un des points A ou B pris isolément. Pour n'avoir pas à distinguer plusieurs cas, suivant que le poids pa de l'entre-boulon est appliqué tout entier en haut des fermes, en A, ou tout entier concentré au point B, ou enfin partagé entre les deux longerons, nous supposerons qu'on connaît d'avance la décomposition du poids jo entre les deux longerons, et nous appellerons p' la portion de ce poids qui s'applique au longeron supérieur, et p" la portion qui s'applique au longeron inférieur. Le complément
DES POUTUEIS AMËKICAINES. 779
de Télude des pressions se fera donc au moyen de l'une ou l'autre des équations
(Pk.4 + Q4)co8ûc = R» + p'a, (Qk-i + P») ces a + p"o = Rfc,
qui rentrent l'une dans l'autre en vertu de la seconde équation posée plus haut» puisque />' 4- ji' = p.
AS8. Laissant de côté pour le moment la recherche de la tension Bjk« nous avons trois équations pour lier entre elles les quatre forces VLu% Q^t Pi9 P*f ^^ l' entre-boulon n"" k^ avec les quatre forces Hfc.,, Q^i, Pjk^,, Fjk^i, de l'entre-boulon précédent. Si l'on suppose connu ce second groupe de forces, il faudra, pour achever de déterminer les quatre forces du premier groupe, attribuer une valeur arbitaire à l'une d'entre elles. L'indétermination du problème est facile à expliquer, en observant qu'pn est maître, en serrant plus ou moins les écrous, de donner aux boulons telles tensions R« qu'on veut; de là résulte une nouvelle série d'équations qui, jointe aux trois premières, achèverait de déterminer les quatre inconnues. Nous sommes donc malires de faire une hypothèse sur le règlement des pressions dans les barres, et celle que nous ferons consistera à admettre que la compression de la barre qui descend de gauche à droite dans le croisillon est nulle pour chaque entre-boulon ; nous poserons en conséquence
Û*-i=o et Q»=o.
Nous nous plaçons ainsi dans le cas-limite où les barres qui descendent de gauche à droite reposent sur les coussinets sans y exercer aucun effort. Les équations se simplifient dans cette hypothèse et deviennent :
(i ) Hk - H», - (F» - Fk-0 + (P* - P»,) sin a = 0,
(2) (Pfc — P»0 cos a + l?a = 0,
(3) H* - Hfc., = Pfc, sin a.
L'équation (s) donne la loi de variation des forces P d'un entre* boulon à l'autre; l'équation (3) donne la loi de variation de la force H, ou de la compression dans le longeron supérieur ; enfin si l'on remplace
dans Téquation (i) la diiTérence Hi^ — Hj^i par sa valear fouroie par l'équation (3), on a l'équaiion
(4) F»-.Ffc-,-PfcSina = 0,
qui indique la loi de variation des forces F.
On remarque sur-le-cbamp :
!• Que la diflférence P* — P»^! est négative et constante; nous supposons ici que p est constant dans toute l'étendue où nous considérons la poutre ; la valeur générale de la quantité variable P est donc donnée par les termes d'une progression arithmétique dont la
raison est — ;
cosa
a" Que la différence H^ — Hjk^i est égale à P4 isina; les différences des valeui*s successives de la variable H sont donc les termes successifs de la progression arithmétique P sina, et par suite la valeur générale de H est donnée par la formule de la sommation des termes de cette progression ;
•V Que la différence F„ — Fj^., est donnée par la fonction P^^sina, ' laquelle représente aussi le terme général de la même progression arithmétique, avancé d'un rang.
Ces remarques permettent d'écrire les expressions générales de la valeur des inconnues
(6) H»=H, + rA-i)Pj8io«-^^^=iH*ZI?)patga.
(7) F* = Fj+(A-i)P,sina-^iii:Jlpatga^
Les constantes P^, H^« F^, qui jusqu'ici sont arbitraires, doivent être déterminées de manière à satisfaire aux conditions de l'équilibre extérieur de la pièce sur ses appuis.
A39. Achevons la solution pour une poutre à travée unique ayant
/ une portée / divisée en n entre-boulons, égaux chacun à -•
DES POUTRES AMÉRICAINES. 781
Le poids pa étant supposé appliqué à deux demi-entre-bouloiis successifs, nous admettrons que les deux demi-entre-boulons voisins des culées ne supportent aucune charge, ou que leur charge est directement supportée par les culées« Le poids total qui pèse sur la poutre est donc seulement pa (n — i), et par suite les réactions des
culées sont égales à ^ -. La réaction de la culée de gauche
si
s'exerce sur la poutre par Tintermédiaire de la barre montante du croisillon n" i, de sorte que l'on a pour l'équilibre
p. COS. =£21:^,
ou bien
P =£î!f2ZLÎi
Substituons cette valeur dans l'équation (5), en y fsusant £ = i, puis éliminons P^ , il viendra
Pa doit toujours rester positif, car les bandes inclinées n'étant que posées sur les coussinets, ne peuvent exercer sm* eux qu'une pression, et non une tension. La formule (8) ne doit donc être employée que jusqu'à la plus grande valeur de k qui donne pour Pj^ un résultat positif.
Deux cas sont à distinguer ici, suivant que n est p^r ou impair.
Si n est pair et égal à an', la plus grande valeur qu'on puisse assigne!* à A est n', et Ton a
'^^"cosa 2 * P - Jî^ ^""3
• "■ CCS a 2 '
p — P^ ^ — ^ •""cosa 2 »
cosa 2
Au delà du boulon du milieu de la portée, P deviendrait négatif, ce qui est impossible ; il faut admettre alors qu'il y a interversion entre les rôles des barres des croisillons, ce qui du reste est d'accord avec la symétrie de la poutre et de la charge par rapport au plan vertical qui divise la portée en deux parties égales : ce sont donc les barres montantes qui doivent reposer sans pression sur les coussinets dans toute la seconde moitié de la travée.
Si n est impair et égal à an' + 1 1 !& plus grande valeur qu'on puisse attribuera k est n\ et l'on a
p -£ÎL ^-^ p = JPÎLlzi
■ 008 a SI '
cosa
Le terme suivant, P^'^^p serait nul, et les termes au delà seraient négatifs ; ce qui démontre que dans les poutres à un nombre impair d'entre-boulons, les deux barres du croisillon central ne portent rien» et qu'il y a renversement dans les rôles des deux barres d'un côté à l'autre de ce croisillon central.
On remarquera aussi que les pressions P^/, P,'j , P^'.». ..Pj , sont proportionnelles aux nombres impairs successifs, lorsque n est pair» et aux nombres naturels si n est impair.
4i0. Les formules (6) et (7) font connaître les valeurs générales de H et de F dès qu'on a assigné les valeurs convenables aux constantes H^ et F,. Dans le cas spécial dont nous nous occupons, on remarquera que Hi doit être nul puisque le longeron supérieur ne vient
buter sur aucun point qui puisse y développer une pression » et que la force F^ doit tenir en équilibre la composante horizontale P,sin a de la barre inclinée du premier croisillon ; cette condition est nécessaire pour que la poutre repose verticalement sur sa culée sans exercer sur elle de poussée latérale. Donc F^= P^sinou Introduisant ces valeurs particulières dans les équations (6) et (7), il vient
DES POUTRES AMÉUICAINES. 783
Hi = iKitga^i— — (A-l) 2~j»
p,=patg« (^f-g-^* J— j.
On observera , d'après ces relations, que Fj^ = H,^^ ^ , de sorte que les deux séries de valeurs de H et de F sont composées des mêmes nombres; mais cette relation doit être modifiée à partir du milieu de la portée, comme nous le reconnaîtrons plus bas.
àhl. La solution que nous venons de donner est complète pour toute poutre américaine à croisillons simples, reposant sur deux appuis de niveau, lorsque les poids égaux qu'elle porte sont concentrées sur les boulons. Nous y ajouterons cependant une remarque qui nous semble conduire à une méthode plus élégante et plus rapide pour le calcul des coefficients d^patgoL dans les valeurs de H^ et deF^.
Ces coefficients sont composés de deux termes : le premier est le terme général d'une progression arithmétique; le second est, au signe près, le terme sommatoire de la progression arithmétique des nombres naturels de i à £— i ou à A. Les deux termes pris ensemble forment, comme nous allons le voir, une série récurrente, dontl' échelle de relation est facile à déterminer.
Plus généralement, soient deux progressions arithmétiques
(a) m, m + /,- 7/1 + 2^ , mH-(/— i)<,
et proposons-nous de trouver la loi de formation de la série (t^ obtenue en ajoutant le i^* terme de la progression {a) à la somme des / plumiers termes de la progression {6} ; si l'on appelle Ui le ^* 1er me de cette nouvelle série, on voit que la différence ui — U|., de deux termes consécutifs de la série {u) est égale au ^* terme de la série {b) augmenté de la différence constante des termes de la série {a). Donc les différences secondes des termes de la série (ti) sont constantes et égales à la différence constante de la série ( b) ; donc enfin les différences troisièmes sont constamment nulles, et Ton a par conséquent enire quatre termes consécutifs
