VIBRATIONS
Fig. 38i.
KM
ém
que la différence de ces deux teosions est égale à cette différentielle
partielle; elle tend à abaisser Félément MST; en d'autres termes elle agit dans le même sens que le poids de l'élément, lorsqu'on suppose que l'élément s'est abaissé, par suite de son mouvement, au-dessous de sa ^position primitive.
En résumé, l'équation du mouvement vibratoire est celle-ci :
pVèix
Le premier terme représente le poids de l'élément, le second, la différence des tensions développées sur ses deux faces, le troisième ia force d'inertie.
L'équation précédente se simplifie par la suppression du facteur
conmiun ciKlâ;; divisant par ^, il vient, toutes réductions faites,
464. Pour intégrer cette équation, il convient de changer de variable.
Cherchons d'abord une solution particulière de l'équation, celle
qui correspondrait à l'équilibre de la tige; on aurait alors^=o,
et l'équation (i) deviendrait une simple équation différentielle, ne renfermant pas trace de la variable (. Intégrons cette équation différentielle
ou bien
DTNE TIGE PESA14TE. 81 r,
La première intégration nous donne
du ^ p
G étant une constante arbitraire. Multiplions par E(o : il vient
B» -jT- = CEw — pfùx, *
Or Eo) ^ est la tension de la tige dans la section dont l'abscisse
est X. Cherchons quelle est, dans l'état d'équilibre» la tension dans la section M. Cette section supporte le poids P, et le poids de la portion MB de la tige (fig. 38o) ; elle est donc égale à P + jDCD (/ — x) = P+jDO)/ — piùx^ résultat qui s'accorde avec 1* Ration précédente en prenant pour la constante arbitraire G la valeur
P + ptùl
^= Eu> •
En définitive, on a dans l'état d'équilibre l'équation
wm du ^ ,
Ett -^ = P + pfûl — poix,
et, en intégrant de nouveau,
Eu)li = PX + JHùlx — 5 P^MC*!
ou bien
Nous n'ajoutons pas de nouvelle constante, parce qu*on doit avoir ai=o pour x=:o, puisque le point A reste fixe. A66. L'équation (3) est une solution particulière deréquation(i),
816 EQUATION
indépendante du temps t. Elle permet de transformer cetle équation , en effet, posons d'une manière générale
z étant une nouvelle variable fonction de x et de /; nous aurons, e; prenant les secondes dérivées par rapport à x et à (,
dhi
da*
dx»*
dht
dt}'
^ dt*'
Puis» substituant dans Téquation (i), la variable u s'élimine, et l'équation (i) devient
' di^ " p dx*'
Posons, pour abréger, -^ = a% et nous aurons ramené l'équa-
tion (i) à la forme
équation bien connue des analystes sous le nom d* équation clés cordes vibrantes^
Â66. Cette équation a été intégrée, au siècle dernier, par d'Alembert, le créateur de l'analyse des équations aux dérivées partielles. Voici la méthode fort ingénieuse qu'il a suivie pour résoudre le problème.
D'Âlembert observe que l'équation (5) sera satisfaite pour toute fonction z des variables a; et / qui aura, avec une autre fonction v des mêmes variables, une relation telle, que les deux expi-essions
vdx + à^zdif zdx -^vdt,
soient à la fois des différentielles exactes. ,
