DES CORDES VIBRANTES

En effet, s'il en est ainsi, on aura à la fois

do dt

dlaH) "■ dx

dx

dz dt"

dv

Prenons la dérivée de la première équation par rapport à âp, la dérivée de la seconde pai* rapport à t ; nous trouveronsi

dtdx'^^ dx*' d^z d»©

(//» ~* âxdV

d^v cPv

Et comme ~t-j est identiquement égal à -TTr-^ U en résulte

que T-|- est égal à a} -j— ,, et que l'équation (5) est vérifiée.

Le problème est donc ramené à trouver des fonctions z et t? de j: et de t telles, que vdx + a^zdt et zdx + vdt soient des différeivtielles exactes ; ces mêmes fonctions rendront donc aussi différentielles exactes la somme

(cdr H- a*2i2/) H- a(<dx + tdO = (v + az)dx + a(v -h az)d/ = (v + a;e) (dx H- ad/),

et en même temps la différence

{vdx+a^^d/}— a(zdx+rd/) = (o--az)dx— a(o— aj(}d/=(v^az) (dx — adt).

Nous pouvons poser, en appelant H et N des fonctions indéterminées de X et de t^

(v + ctf) (dx + ad/} = du»

(9—02) (dx— adO = dN.

Mais 6b d: ocf/ est la différentielle dià x±:ai. Pour que les équations précédentes soient satisfaites» il faut et il suffit que v + az soit une fonction quelconque de 2: + ^^ t et

ht

que V — az soit une fonction quelconque de ^ — at; la solution consiste donc à poser

V — az='V{x — at\

^ et ^ étant des fonctions arbitraires quelconques. Entre ces deui équations , nous pouvons éliminer la fonction auxiliaire v » puis diviser par aa, et changer les fonctions arbitraires ^ et ^ en d'autres fonctions arbitndres 9 et ^ ; nous aurons en définitive l'équation

(6) « = <p(x + ai) + ^{x — ai)

pour rintégrale générale de Téquation (5).

DÉTERMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES DANS LE PROBLÈME DES VIBRATIONS DE LA TIGE PESANTE LORSQUE LE POIDS ADDITiOANEL P EST ÉGAL A ZÉRO.

M7. Revenons à la solution générale au problème de la tige vibrante

(6 bis) « = ?(x + al) + +(x— o^),

OU bien, en remplaçant z par sa valeur en fonction do ti|

Nous allons déterminer les fonctions f fst <p, d*après les conditions initiales du mouvement, supposées données.

Dans ces équations, x ne peut recevoir que les valeurs comprises entre a? = oet a? ={, tandis que t peut être supposé variable de

On donne, pour t = 0, la valeur de u en fonction de x , et la va-

du leur de la vitesse jr de chaque point à ce même instant.

On sait de plus que le point  est fixe ; de sorte que pour x = 0,

on doit avoir u = o et -t- =0, quel que soit L

Tour simplifier la question, nous supposons que P est nul; ce qui