DES FONCTIONS ARBITRAIRES

revient à chercher la vibration de la tige sous Faction de son propre |)oids seul.

Dans cette hypothèse on aura j- = o pour x = /• En effet , la

eue

lension de la tige au point 6 est égale à Ea> -r- ; c'est la réaction

(gale et contraire au poids P; elle est donc nulle si P = o. On a ainsi les équations de condition suivantes :

u = F(x) j pour ^ = 0, les fonctions F et/ étant supposées données

— =/(j:) I pour toute valeur de x de 0 à /•

du __ ! pour x = 0, quel que soit L

iJx ~ ^ )

— = 0 pourx = /, quel que soit U

Faisons ^ =. o dans l'équation (7) , après avoir supprimé le terme — , que nous supposons nul; il viendra pour ^ = o

Puis prenons la dérivée de (7) par rapport à ^, et faisons (=0; il viendra t en supprimant toujours le terme contenant P»

. (9) .. gj=a[?'(x)-f(x;]=/(x).

Les équations (8) et (9) donnent les fonctions 7 [x) et ^ (x) entre les limites a; = o et a; = /• En eflet , on tire de la seconde, en intégrant»

o(x)-A(x)=lJ/(x)dx,

et la première donne

9(x) + ^(x) = F(x)-^(2/x-ai«,.

On en déduit

?(x) = iF(x)-^{2/x-x«)+^C/(x)dx.

La quadrature J f {x) âx introduira une constante arbitraire C; et Ton peut poser d'une manière générale

Cyîx)dr==C+ÇV(«)dx.

Nous verrons plus loin que cette quantité G n'influe pas sur le résultat final , et qu'on peut par suite lui attribuer telle valeur qu'on voudra, o, par exemple.

Les fonctions F {x) et f {x) étant données pour toutes les valeurs de X comprises entre les limites x = o et a; = I, les équations (lo) ' font connaître de même les valeurs des foncUons op et <f pour toutes valeurs de leur variable immédiate comprises entre les mêmes limites.

Si on fait â? = o* dans l'équation (7) et dans l'équation qu*on en déduit par la dérivation par rapport à t , c'est-à-dire dans les équations suivantes

u = ^ (2/x — x«) + •(x + aO + ^[x-ai], 2ï = a[?'(x + a<)-f(x-a<)],

on doit avoir, quel que soit l, en vertu des équations de condition.

^"^ ( 0 = ^'{ai) — f (- ai).

La première des équations (12) nous cnpprend que, quelle que soit la variable Ç, on a

de sorte que si l'on connaît l'une des fonctions, f » dans un certain intervalle, on peut » déduire l'autre fonction if dans l'intervalle compris entre les mêmes limites changées de signe* On connaît f et ^