DES FONCTIONS ARBITRAIRES. 8ÎI
quand leurs variables sont comprises entre o et /: on déduira donc de la première équation (19) les valeurs de if etdeo dans Tintervalle X = o et a: = — /; en définitive, on connaîtra © et + pour toutes valeurs de la variable comprises entre les limites — / et -f /•
La seconde équation (12) rentre dans la première et ne nous apprend rien de nouveau.
du Ayons égard maintenant à la condition --j- =0 pour x=/, quel que
8oit /• Noos avons , en général.
Faisant x = /, il viendra
(14) T'(' + aO+^'(/-a/)=:^0,
quel que soit /•
L'équation (i4) est une équation différentielle dans laquelle / est la seule variable indépendante. Intégrons cette équation, nous aurons
(16) f(/ + a<)-«/-aO=C',
C étant une nouvelle constante arbitraire. Si nous fusons / = 0, il vient
Or nous avons déjà trouvé
,(«)~«*) = iJyix)dx=iJ.Ax)dx+^. •
Donc
(«) c=l£yix)dx + e.
de sorte que la constante G s'exprime en fonction de la constante C. H vient alors pour l'équation (i5)
822 PERIODICITE
(17) ç(/ + at) - +(/ - aO = 5 Jyix) (te + 5 ,
équation vraie pour toutes valeurs de /.
La première des équations (13) et Téquation (17) sont donc vr.nies pour toutes valeurs de leur variable. Remplaçons dans (12) al pai at — /; nous aurons
= ©(a<— O + 'K^— oÔ==0.
Les équations (17) et (18) permettent d'éliminer la fonction ^ :
(19) ff{l + aO + ?(- / + at) = i £y(x) (te + |,
ou bien, en remplaçant ( — l+at) par une nouvelle variable?^,
(20) 9C: + «0 + ?(Ç) = hJ/W^ + §•
L'équation («0) nous donne donc f (Ç+2/) au moyen de f (Q : nous connaissons déjà f (Ç) pour toutes val€;urs de Ç comprises entre — / et + 1; nous en déduirons les valeurs de f pour des valeurs de Z comprises entre I et 3 1» puis entre 3 1 et 5 {, et ainsi de suite indéfiniment; en d'autres termes on pourra toujours trouver les valeui*s de f {x+at) , pour toutes valeurs de x comprises entre x=o et x^l^ et pour toutes valeurs du temps t.
La fonction ^{x — at) se déterminera de la même manière; mais on peut aussi appliquer la première des équations (19), et observer qu'on a, en vertu de cette équation ,
0 = ç(— a: + af) 4- «Kx — a/).
Donc
^•(x — a<) = — 9(— x + aO,
ce qui permet d'écrire l'équation (7) sous la forme (21) " = ^ {2te — x«) + ç(i + a/) — ^- X + ai^.
DU MOUVKMKNT. 823
La détermination de ? pour toutes valeurs de sa variable achève donc toute la solution.
La constante G disparaissant dans la différence des fonctions
on
peut, comme nous Tavons dit, la supposer égale à o. L'équation (20) montre que le mouvement est périodique. En effet, remplaçons
Ç par Ç + «; il viendra
etfOn retranchant l'équation (90),
m ?K + 40-?ra=o,
de sorte que la fonction f (Q est périodique, et que la période est égale à 4^* H en est de même de la fonction ^ ; et par suite, la tige se retrouvera identiquement dans la même position, avec les mêmes vitesses pour les mêmes points, à deux époques pour lesquelles ar + at différera de 4/, c'est-à-dire au bout d'un t<;uips égal
àl à — ; c'est la durée d'une allée et d'une venue complète, le long de la
tige, d'un mobile qui serait animé dans un sens et dans l'autre de la vitesse moyenne -•
Nous avons supposé P = 0. Si nous voulions conserver P dans le calcul, les équations deviendraient beaucoup plus compliquées. Nous renvoyons pour le développement de la solution dans ce cas généml au Cours de mécanique appliquée de M. Bresse, 3* édition , chapi tre 1*% S i7, pages 39 et suivantes.
^U VIBBATIONS TRANSVERSALES
VIRIIATIONS TRANSVERSALES d'uNE POUTRE DROITE POSÉE
