SUR DEUX APPUIS

468. Nous admettrons que la poutre AB, posée sur les appuis de niveau A et B, a une section constante, et quelle est chargée

Fig. 382. uniformément de p unités de poids par

A MM' fl unité de longueur. On donne la dîs-

tance / = AB des deux appuis. On suppose enfin la poutre animée d'un mouvement vibratoire transversal, dont on demande la loi.

Les équations cherchées s* obtiendront en introduisant, les forces d'inertie dans les équations de l'équilibre intérieur de la pièce.

Prenons sur la poutre un point M à une distance x du point A, et considérons un second point M' infiniment voisin du point M, et défini par son abscisse, x + dx. Le poids de l'élément , surcharge

comprise, estpdx^ et sa masse est par conséquent ^rfa?.

Soit [JL le moment des forces élastiques dans la section M ; le mo- Fig. 383. ^^^^ ^^^ mêmes forces en M' sera égal à

AA

^i* + ^ <tej ^^ devra être pris avec un signe contraire.

Représentons de même par une lettre A la résistance à l'elTort tranchant dans la section M; nous trouverons en M' une ré-

fds

ristance à l'effort tranchant égale à

A+^dx.

2ï et dirigée en sens opposé.

D:UNK poutre sous une CIIARCK FIXE. 8i5

L'élément MM' reçoit des déplacements normaux à A6, et nous

supposerons que toutes ses molécules suivent les verticales ,qui les contenaient dans l'état primitif. Rigoureusement, ces déplacements verticaux ne sont admissibles que pour les molécules de la fibre neutre. Les molécules situées en dehors de cette fibre subissent, par suite de la flexion, un mouvement de bascule autour de l'axe horizontal mené dans chaque section par son centre de gravité ; il y aurait donc lieu d'introduire dans le calcul le couple d'inertie développé par ce déplacement angulaire. Pour plus de simplicité, nous suivrons la marche adoptée par M. Phillips dans ses mémoires sur les poutres vibrantes, et nous ferons abstraction de ce couple, qui est du reste très faible toutes les fois que la hauteur de la poutre est petite par rapport à sa portée, ou que le poids propre de la poutre est petit par rapport à la surcharge.

Dans ces conditions, les forces d'inertie se réduisent à une force unique verticale et ayant pour expression

elle est dirigée de bas en haut si l'élément de poutre descend avec une vitesse croissante.

Rappelons que nous comptons les y positivement au-dessus de AB, et négativement au-dessous.

Nous pouvons poser les équations xlu mouvement vibratoire; elles se réduiront à deux; l'une est celle des composantes verticales, l'au* tre, celle des moments.

Équation des composantes verticales.

OU, en réduisant et en supprimant le facteur coumiun dXf

8i6 VIBKATIONS TRANSVERSALES

Équation des moments par rapport au point Jt application

du poids pdx.

Réduisons, supprimons le terme infiniment petit du second ordre et divisons par dx : il vient

équation rigoureusement vraie dans Tétat d*équîlibre , et approxî- «mativement vraie dans l'état de mouvement, puisque nous avons négligé le couple d'inertie provenant du mouvement de rotation des sections transversales autour de Thorizontale menée par le centre de gravité.

Or nous savons que le moment {x des forces élastiques est représenté pai* la fonction

On a donc, en en prenant la dérivée par rapport à a:, •et, en prenant encore la dérivée de A par rapport à x^

Fï ^y - ^^

dk •Substituons cette expression de — dans l'équation (i) ; nous aurons

l'équation finale

£lle contient la dérivée partielle du quatrième ordre de y par rap-

DTNK rOUTRE SOUS UNE CHARGE FIXE. 827

port à 07, et la dérivée partielle du second ordre de y par rapport h t. Elle présente donc pour l'intégration un plus grand degré de diiriculié que Féquation des cordes vibrantes, et il est efiectivement impossible d'en obtenir l'intégrale générale sous forme finie (i).

469. Cherchons-en une solution particulière, qui corresponde à Féquilibre, ou au repos de la poutre ; cela revient à supprimer le terme

(Pv

-r^ , le seul où entre la variable /. Alors l'équation (5) devient une

simple équation différentielle du quatrième ordre ,

qu'il est facile d'intégrer. On trouvera successivement, en appelant G et C/ des constantes arbitrai tes.

Mais El T-^ est égal au moment fléchissant au point de la poutre défini par son abscisse a; , et ce moment est exprimé par la fonction

On identifiera donc les deux expressions en faisant

C' = 0, C = ip/.

Continuons à intégrer, nous aurons d'al)ord

^^ {î-^'') ^-^P"^ + iP^f

et dans cette équation la constante tg a se déterminera en obser-

(1) Y. PoisaoD, Journal de V École polytechnique, t. VI (an xiii).