INTÉGRATION DE L'ÉQUATION
L'équation {a) a été intégrée par Laplace, d'abord sous forme de série, puis sous forme d'une intégrale partielle représentant la somme des termes de cette série. Nous nous bornerons à donner la solution et à la vérifier.
L'intégrale générale de l'équation (à) est, en désignant par /une fonction arbitraire,
(c; ç = C"""*"** c-^^V (x + 2w \[ci) du.
Dans cette équation, l'intégration porte sur la variable t/, qui passe par toutes les valeurs réelles de l'infini négatif à l'infini positif; les variables :r et ( sont traitées comme des constantes dans Tintégration.
Pour vérifier ce résultat, diflérentions l'équation {c) deux fois par rapport à or, puis une fois par rapport à L II viendra
g = ^^ ^--y (x + 2ii sicl) du, $ = Pe-V(x+2e.v^duxî^
= V/- \ ^~"* «^'* x/ (x + 2« \/cij .
Sous cette dernière forme, l'intégrale se prête à l'intégration par parties. On a, en effet, en laissant de côté les limites,
y-»*' udu xf{x+ 2aVc7) =— i «"«V (x + 2m y/cï)
+ ^ y~"*/' {x + 2w ^7t)%yJTt du.
Prenons ensuite le résultat obtenu entre les limites , — co et -{- qo;
le terme en dehors du signe \, contenant en facteur ê-»*, est nul
aux deux limites; le second terme se réduit L
s/Fl Ç^^ e-«' /' (x + 2m \/ci) dd, j-o©
DES POUTRES VIBRANTES. 83f
un faisant sortir du signe \ le facteur \/ct^ qu on doit regarder: comme une constante.
Multipliant par V/t* on a donc
c'est->à-dire l'équation {a).
La solution contenue dans l'équation (c) ne renferme qu'une fonc^ tion arbitraire. Elle donne néanmoins rintégi*ale générale de l'équation proposée, c'est-à-dire» elle satisfait à l'équation (a) et à toutes celles qu'on peut en déduire par des dérivations prises par rapport aux deux variables. La présence de la fonction arbitraire sous le
signe \ semble ainsi donner à la solution un plus haut degré de généralité.
Pour passer de l'équation (a) à l'équation donnée (5), il suffit de remplacer <f par z^ et de faire usage successivement des deux déterminations de la constante c; il viendra, en réunissant les deux valeurs correspondantes, et en désignant par / ei F deux fonctions ai-bitraires,
z=[ ^ «""*/(* + U^aH V ^) du
J-cao
+ f"*"*^ e— "f {x + 2u V^- aH y/^) du.
Pour développer la valeur de z en série, on développera les fonctions /" et F suivant la série de Taylor (supposée applicable aux fonctions données) ; puis on formera les intégrales indiquées, qui sont loutes de la forme
832 INTEGRATION DE L^ËQUATION
et qui entrent comme coefficients dans ces séries. Le résultat final ne contiendra plus aucune trace de la variable auxiliaire u.
iNTÉGnATION SOUS FORME DE SÊBIE.
472. L'intégrale générale de cette équation aux dérivées partielles peut renfermer une infinité de termes de différentes formes.
On pourrait d'abord y introduire une fonction entière de x^ du 4* degré, dont la 4* dérivée serait constante ; puis une fonction entière de/ du s* degré, dont la a'* dérivée serait également constante; il faudrait que le produit de la première constante par à^, ajouté à la seconde constante, fût identiquement nul, ce qui permet d'exprimer Tune des constantes au moyen de l'autre.
On peut y joindre une infinité de termes de la forme Tsinnu;, T étant une fonction du temps, et m un coefficient constant. En effet, si l'on considère un de ces termes en particulier, on a pour sa 4" dérivée relativement à x
et pour la seconde dérivée relativement à /»
-TTîT sm mx.
Ce terme satisfait donc à l'équation (5), pourvu qu'où ait
équation différentielle linéaire du s* ordre, qu'on sait intégrer. On en déduit
T = CmSinm^a*^ + C'., ces m*a*/,
en appelant G^ et C'^ deux constantes arbitraires. Le terme considéré prend la forme
{C»sinm«aV + CmCOsmV/) sinmx;
DES POUTUES VIBRANTES. 833
i'Ons cette expression G. et G^ désignent des constantes arbitraires* et m un nombre qui sera assujetti plus loin à certaines conditions. Nous supprimerons dans la solution générale les fonctions entières de X et de L Pour la fonction entière de /, elle ne peut subsister dans la solution, par la raison qu'à partir d'une certaine valeur de la variable /, qui grandit seule indéfiniment, cette fonction prendrait des valeurs de plus en plus grandes, et par suite il serait impossible que la poutre restât indéfiniment posée sur ses appuis. Quant h. la fonction entière de x^ elle est englobée dans le polynôme du quatrième degré en x qui complète la valeur de z^ et qui donne la valeur générale de y, puisque la suppression de tous les termes fonctions de / dans la valeur de y doit ramener l'expression de y à celle qui convient à l'équilibre. Nous poserons donc simplement
(6) « = 2 (C« sin 7n!^aH + C'., ces m'^aH) sin mx,
et ce sera l'équation du déplacement oscillatoire de la poutre autour de sa position moyenne ou de sa position d'équilibre.
A73. Passons à l'examen des conditions particulières du problème.
Aux points A et B, c'est-à-dire pour a? = o et pour a? = /, la poutre ne subit aucun déplacement ; donc y = o en ces points ; de plus le
moment fléchissant y est nul, donc-i-i = <>« ^^ ^^'^ V^^^ ^^ ^^^ ^*
Le polynôme du quatrième degré, x (x* — 2&* + /•), et sa seconde dérivée par rapport à a:, i a x* — 1 2 &, s'annulent à la fois pour x=o eix = L II suffit donc de faire en sorte que, quel que soit /, on ait,
pour^ = o et X = /, J5 = o et -r-, = o.
Pour x=:o, tous les termes de la valeur de z s'annulent, puisqu'ils contiennent en facteur sinmx; il en est de même de tous les
termes de la valeur àe-r-^.
Faisons donc x = / dans les expressions générales de z et de -T-i ; il vient
2 [Cm sin m*a*t -f C'., ces m*a*t) sin m/ = 0 ,
«3i DÉTERMINATION
et
2 m'(Gai sin w^aH + G » cos m^aH) 8in ml = g,
équations qui doivent être identiques, quel que soit t. Il faut et il
suffit pour cela que dans chaque terme, sin ml soit nul, ou que nd
Boît un multiple de la demi-circonférence. Soit donc mli^kn^k étant
un entier positif quelconque , au moins égal à Tunité; on aura, pour
ht déterminer m, la relation m=:: -r.
La solution se trouve donc préparée et s'exprime par l'équation
OÙ k doit recevoir toutes les valeurs entières et positives de i à q»* et où Cjk et C'k représentent des constantes arbitndres en nombre infini, qui restent à déterminer.
Pour y parvenir, il faut employer les équations relatives à l'état initial de la poutre. Supposons qu'on donne pour / =r o les valeurs
de y et de -^ en chaque point, c'est-à-dire pour toute valeur de s
comprise entre o et I; soient F(a;) et f{x) les deux fonctions qni représentent ces valeurs : faisant /=o dans la formule (7), il viendra
(8) F(x) = -^(x»-8te«-+l*)x-h;^ C*8in^,
Ces équations (8) et (9) permettent de déterminer les inconnues Gi et C\. Prenons pour exemple la dernière équation. La fonction f(s) est connue pour toute valeur de la variable comprise entre o et /; elle ne devient pas infinie dans cet intervalle, et elle s'annule aux deux limites. Dans de telles conditions, et sans même exiger que h
