DES ARBITRAIRES

fonction f (jc) soit continue, on peut la développer en une série de sinus ou de cosinus d'arcs proportionnels à la variable. Posons en effet

(iO) /t«) = Al sin y + A, sm -j- + A, sin —- + ... + A. sin -j- + ... •

et proposons-nous de trouver le coefficient A« du terme général. I^ous multiplierons pour cela la série (lo) par sin— y— dix, et nous

intégrerons entre les limites o et /; il viendra

11) V /(a:) sm -y" (£x = Aj \ sm -^ sin — j— de + + V \ *'** "T" ^'^ + -

Or toutes les intégrales définies du second membre, sauf celle qui se trouve multipliée par A^, sont identiquement nulles. En effet, on a en général

8111 — j- 8in -— = - I 008 i — <50S i — * j;

multipliant par (2x et formant l'intégrale indéfinie, nous aurons pour résultat

expression qui, prise entre les limites o et/, se réduit à zéro, toutes les fois que m est différent de n.

Lorsqu'au contraire m = n,rintégrale définie obtenue parce procédé prendriût la forme -, ce qui ne nous apprend rien ; mais la quadrature à effectuer devient alors

et cette fonction a pour intégrale générale

836 DÉTERHINâTIO!!?

si Ton y fait x = o, â; = /, et qu'on retranche, H vient pour résultat

final - . Donc s

8in*— 7— {fx= -.

En définitive, l'équation (n) se réduit simplement à la relation

\ /(x) sin 2îp dx = A.» X -, et par suite

m A«=fJ'y(x)8ÎD^cte.

La fonction f{x) étant donnée numériquement dea;==o àx = A on pourra calculer par des quadratures, pour les valeurs entières successives de m, les valeurs correspondantes des intégrales définies, et par suite les valeurs de A^; la fonction f{x) se trouvera dnsi développée en série de sinus d'arcs proportionnels à la variable x.

Remplaçons f{x\ par ce développement en série dans l'équation (il). Nous devrons avoir identiquement

/(x) ■= Aj sm -j- + A,8in —j- + A, sm -p + + A» sm — j- +

= j sm y\ /(a;) sm -j- dx + sm -j- V /(xjsin -2-dx4-

Jf=O0

+ sin -^ V J\x] sin — .- dx + ... J =^ -^ ^^ A'Ci sm -j-

= "25- I Cl sin y + 4C, sio -r- + + m»C«^m — j- + J

et par suite, les constantes C^, C,,..., C«, .• s'expriment par les relations