PROBLÈME DU TRAIN INDÉFINI

A80. Soit AB une poutre de longueur sa» posée sur deux appuis de Fig. 385. niveau, et pesant p unités de poids

par unité de longueur ; on la suppose parcourue uniformément par un train indéfini^ pesant q unités de ^ ^, poids par unité de longueur, et I'od

^ demande la position d'équilibre de la poutre sous l'action de cette sorcbarge qui, pour être mobile, n'en est pas moins ici une surcharge permanente. La question est bien simplifiée par cette hypothèse, analogue à celle qu'on emploie en hydraulique pour rendre facilement accessibles les problèmes de l'écoulement des eaux. Le réffime permanent est une sorte d'intermédiaire entre l'équilibre et le mouvement, et toutes les fois qu'il est constaté, on peut introduire dans les équations des simplifications notables. Le temps n'y intervient plus.

Soit AC'B la poutre dans l'état de déformation où l'on suppose l'équilibre réalisé. Prenons pour origine le point G, milieu de la portée; CX est l'axe des x; nous prendrons pour l'axe des y une verticale CT élevée au point G.

G<»nsidérons dans l'état naturel un élément MM', lequel occupe après la déformation la position M^ M\. Get élément est en équilibre sous l'action des forces moléculaires développées dansles sec* tiens M^ , M\ , du poids de l'élément, du poids de la surcharge.

PARCOURUE Par UN TRAIN INDËFINI. 853

et enfin de la force centrifuge développée par le déplacement de réiément de surcharge avec une vitesse V, le long de la courbe

Appelons (A le moment des forces élastiques en M^ (ou en M) , et A l'effort tranchant; p le rayon de courbure de la courbe AC'B au point M^; la normale à la courbe est sensiblement verticale; la

force centrifuge, rapportée à l'unité de masse, est donc une force

verticale, tendant vers le bas, et égale à — •

Nous aurons pour équations d'équilibre :

Équations des composantes verticales :

Équation des moments:

Ia première équation donne

dA dx

Mais on a très sensiblement donc

dA = -(p + ï)ax--^x— dx,

équation qu'on peut intégrer, et qui donne

V*adf/ A = Ao-(p+7)^--^^.

Si l'on Tait 2: = o, c*est-à-âire si l'on prend l'effort tranchant au