PARCOURUE PAR UN TRAIN INDÉFINI

On intègre cette équation en en cherchant d'abord une solution particulière, que Ton complète ensuite par l'addition d'une nouvelle variable z : cela revient à changer encore de variable.

Nous poserons à cet efll^t

î^ = STJ»0-^''+f)+'-

On en déduit pour déterminer z l'équation

qui donne

z = AsinUx'+BcosUx',

A et B étant deux constantes arbitraires, qu'il est facile de déterminer en observant que ^ = o pour 2; = o, et que ;y = 0 pour x= a. On trouve

U^cosU*

ce qui donne pour l'intégrale de l'équation (1)

Si dans cette équation on fait x* = o; on obtient pour la valeur de y' au milieu de la portée,

2^' ~ "" ïFcôsU "^ au* V ■*■ ïJ«j*

«t multipliant par yi — » ^^ obtient la valeur de y, c'est-à-dire la flèche prise négativement On a donc

^~ Ëî ''"KlL'cosU ÏEIU' Vu*/'

ou bien, en divisant haut et bas par a* et en remplaçant — ^ parf,

fp + (y)a«ri / i \ 4-]

•^ ~" y^q LU»VC08U J J

Le moment fléchissant au Ailieu est donné par l'équation (i) en y faisant a:= o, et y = — /. Il vient donc

= |(p+îK['+é(35nï-0-*]

C'est le produit du moment fléchissant statique^ -{p -h Ç)^* p&r le

facteur ^ ( — rj — i j j, qui représente l'elTet de la vitesse V, de

la charge.

Ce facteur devient infini pour D = ^ ; ce qui indique que la

poutre serait en danger de rupture si l'on avait

y* g EI«« g '^ 4a«"'

expression que nous interpréterons tout à Theure* En faisant

on trouve

M = |(P + ^)a'xi,343î

dans ces conditions de vitesse, le moment fléchissant augmente, par l'effet du mouvement, d'un tiers environ de sa valeur.

A81. L'équation (i) nous montre que l'efTet de la charge roulante équivaut, au point de vue du moment, fléchissant, à l'effet de deux

DES VITESSES DANGEUEUSES. 837

forces égales à — ^ , qui agiraient aux points A et B, suivant la droite

AB, de manière à comprimer la poutre (g i3i). Le problème est donc ramené à celui d*une pièce comprimée par ses abouts, La plus petite force de compression qui mette la pièce en danger de rupture est donnée par la formule

V*g Eïic*

égalité que nous venons déjà d'obtenir d'une autre manière. Pour obtenir une limite des valeurs non dangereuses de la vitesse V, il faut tenir compte à la fois du poids permanent a (/> + q)a^ et de la

force de compression—^. H. Bresse admet qu'on peut prendre avec

sécurité pour limite des valeurs non dangereuses, le résultat fouini par Téquation

— - = 7F^» ^"* correspond a U = j,

ce qui revient à abaisser la première limite au quart de sa valeur ; on trouve alors, comme nous l'avons vu tout à l'heure, un moment maximum supérieur d'un tiers à ce qu'il serait dans le cas du repos de la charge.

Le moment fléchissant maximum, correspondant à l'état statique, a pour expression

cl la charge maximum correspondante de la matière est donnée par Téquation

II y faut faire t; égal à la moitié de la hauteur H de la poutre, que nous supposons symétrique ; nous aurons donc