ELLIPSE CENTRALE

Le carré de cette distance est

y'cos'w + x*sin*(i) — S-ry coscusinfa)»

Si l'on multiplie par dxdy et qu'on intègre dans rintérieur de toute la sectfon, on aura I, c'est-à-dire

I = cos*co \ \y*dxdy + sin'w \ Vx'dacdy — 2 coscosin w \ Xxydxdy^

ou bien

I = IcCOS*ti> -f lysin'o) — 2sino> coscoUx^dxJy.

On peut donc exprimer le moment d'inertie de la section autour d'une droite quelconque OL menée par le point 0, en fonction des moments d'inertie par rapport à deux axes rectangulaires, de

l'intégrale yXxydxdy^ que nous représenterons pour aJbréger par M,

enfin de Tangle-^o que fait la droite OL avec Tun des axes.

Nous pouvons construire une courbe qui nous aidera à nous représenter les moments d'inertie autour de différents axes conduits par le point 0. Prenons sur chaque droite OL une quantité telle, que le produit de cette quantité par le rayon de giration autour de OL soi^ égal à une quantité constante X*, prise arbitraii*ement. Pour, introduire les rayons de giration dans notre équation, appelons p le rayon de giration qui correspond à la ligne OL ; nous aurons

I = Ûp«.

Nous poserons de même

c représentant, non plus un rayon de giration, mais une longueur analogue, longueur connue, puisque la somme M est entièrement déterminée par le choix des axes. Introduisons ces nouvelles expressions dans l'équation qui donne I ; il viendra, en supprimant û qui est facteur commun ,

p* = p'.cos'o) 4- p%sin'« — Sc'sino) cos(tf»

DINERTIE. 83

Prenons ensuite des longueurs r, r«„ ry, d^ liées aux précédentes par les équations

c'est-à-dire opérons la transformation connue en géométrie sous le nom de transformation par rayons vecteurs réciproques. Le lieu des points (r, <i>) ainsi obtenus permettra de trouver les valeurs des rayons de giration pour une direction OL quelconque. Remplaçons p, p., p^ et c par leurs valeurs

et nous aurons l'équation en coordonnées polaires, r et co, du lieu cherché :

— = -- cos*co + -r- sin'o) — 2 C08 « sin «-;y.

Le facteur ^^ peut être supprimé ; si l'on multiplie ensuite par r*, et qu'on remplace rcosa> par x et rsincj par y, on aura en définitive pour l'équation du lieu en coordonnées rectangles

g» y» gjy

équation d'une courbe du second ordre, qui est nécessairement fermée, puisque ses rayons r ne peuvent être infinis (i). C'est donc une ellipse. Si, comme on l'a supposé, l'origine 0 est le centre de gravité de la section, on appellera cette ellipse Yellipse centrale d'inertie de la section. Les dimensions en sont encore indéterminées, car elles dépendit de la quantité X qui est arbitraire.

(1) Sauf dans le cas où la secUoD se réduirait à une droite saDs épaisseur, cas tnad- ■MMe' dans les applieatlona.

%i ELLIPSE CENTRALE

On peut simplifier l'équation en prenant pour axes des x tt des y

les axes pjincipaux de l'ellipse ; elle devient alors de la forme

Dans cette équation, a est inversement proportionnel au rayon de giration de la section autour du nouvel axe OX, et b^ inversement proportionnel au rayon de giration autour du nouvel axe OY. Les

quantités —, -y- sont les rayons de giration principaux de la surface.

Avec cette orientation particulière des axes, la somme H == yXxydxdy

est égale à zéro : nous avions déjà reconnu {% 54« note) qu'il était toujours possible, en faisant un choix convenable d*axes, de satisfaire à cette condition.

Ces résultats sont tout à fait analogues «& ceux que Ton obtient

dans la dynamique des solides invariables pour l'ellipsoïde d'inertie.