Remarque sur les axes de symétrie. — Si Taire donnée a

F^ Si. un axe de symétrie XX\ cet &t passe par

son centre de gravité 0, et de plus il est Tun des axes principaux de l'ellipse centrale. En

effet, l'intégrale \\xydxdy^ prise relativement à cet axe considéré comme axe des x, est nulle à cause de la symétrie, puisqu'à tout élément superficiel dxdy situé d'un côté de l'axe, correspond de l'autre côté un élément égal dxdy^ ayant même or, mais ayant pour ordonnée --* y. La somme des éléments symétriques xydxdy pris deux à deux étant nulle, il en est de même de l'intégrale totale. Si la surface donnée a deux axes de symétrie, fsdsant entre eux un angle différant d'un angle droit (auquel cas la surface a nécessairement encore d'autres axes de symétrie, qu'il est facile de déduire des deux premiers), l'ellipse d'inertie aura deux axes principaux non rectangulaires, ce qui indique qu'elle se réduit à un cerck. Il résulte de là, comme corollaire, que ï ellipse d inertie d*un

DINERTIE. 85

polygone régulier guelconque est une circonférence^ et que le moment d'inertie de la surface est le même autour de toute droite menée dans son plan par son centre de gravité. On voit aussi que le moment d'inertie polaire du polygone, par rapport à un axe mené par son centre de gravité perpendiculairement à son plan, est double du moment d'inertie par rapport à toute droite menée par le centre de gravité dans le plan de la figure.

Jusqu'ici, nous avons défini l'ellipse d'inertie de forme, et non de (H^ndeur. 11 est utile de faire une convention relativement à la quantité arbitraire \ ; nous ferons X* = p^,, c'est-à-dire V égal au produit des rayons de giration de la section donnée autour de ses axes principaux d'inertie ; on a alors

Fiff. 3i.

r, = -- = py == a, r, = — =pc = 6.

Le rayon de giration p de la section autour d'une droite ON sera donné par l'expression ôïf = §jf ==5pj- Mais dans l'el-

lipse le rectangle des axes est équivalent au parallélogramme construit sur un système de diamètres con<jngués; menant donc OM, diamètre conjugué à ON, nous aurons

ON X OM X sIdNOM = OA x OB = ah.

Donc

^ = p = OM sinNOli = HP,

distance du point M à la droite ON. Le choix de cette ellipse particulière d'inertie p^met donc de poser la règle suivante : Le rayon de giration de la section autour dune droite quelconque passant par le point 0 est égal à la distance de cette droite à t extrémité du diamètre conjugué à sa direction.

MOMENTS D*1NERTIE.

55. Théorème. Le moment d'inertie I autour d'une droite ÂB, qui pig. 33. ne passe pas par le centre de gravité de la

section, s'obtient en ajoutant au moment

d'inertie autour d'une droite CD, menée

par le centre de gravité parallèlement à

ÂB, le produit de l'aire 0 de la section par

le carré de la distance OE des deux droites.

Ce théorème, analogue à celui qu'on établit eu dynamique pour

la relation entre les moments d'inertie d'un solide piis autour d'axes

parallèles, se démontre exactement de même pour les surfaces. Le

moment d'inertie d'un élément F par rapport à AB est

dxdy X FL* = âady (FK* + 2FK x KL + KL*).

Pour avoir le moment d'inertie par rapport à AB, on fera donc les trois sommes des produits dxdyxft^^ ad^^fy x FK x KL, dxdyxÛ?» La première somme, étendue à tous les éléments de la section, est le moment d'inertie de cette section par rapport à CD ; la troisième, dans laquelle le facteur Û? = OË^ est le même pour tous les éléments, donne le produit par Ôl^ de la surface totale û de la section. Enfin la seconde somme est nulle; car, en fsdsant sortir de la somme le facteur commun s KL, on doit étendre à toute ia surface la somme des moments élémentaires, dxd^xYKt par rapport à la droite CD ; la quantité FK doit être prise positivement pour les points situés au-dessus de CD, et négativement pour les points situés au-dessous. Le résultat de la sommation est le produit de la surface entière par la distance à CD du centre de gravité 0 de la surface, c'est-à-dire par zéro, et le théorème est démontré.

66. Recherche du moment d inertie du triangle équilatéral ABC par rapport à une droite passant par son centre de gravité 0. La figure ABC 'étant un polygone régulier, le moment d'inertie cherché est le même, quelle que soit la droite par rapport à laquelle on le prenne. Il suffit donc de con-

Fig. 84.

TRIANGLE ËQUILATÉRAL. 87

sidérer la droite FA, médiane du triangle. Le point 0 se trouvera au tiers de FA à partir du point F, milieu de la base BC.

Soient E, 6, les milieux des autres côtés; nous décomposons, en joignant EN, EF, F6, le triangle donné en quatre triangles équila* téranx égaux entre eux, et dans lesquels les centres de gravité sont aux points 0, (X, 0^, (f. Soit I le moment d'inertie cherché, V le moment d'inertie d'un des petits triangles par rapport à sa médiane. Nous aurons, en appliquant le théorème précédent,

l = 2r + 2(r + û'xFïr),

û' étant la surface de Tun des petits triangles.

FH est égal au quart du côté c du triangle donné ; Q' est aussi le quart de la surface û de ce triangle. Donc enfin

I=4I' + ^ûc..

Mds les petits triangles sont semblables au grand, et comme les sommes I ont quatre dimensions linéaires ly^dxdy)^ I est à T comme l'unité est à la quatrième puissance du rapport de similitude, qui est

\d -; donc

Remplaçant dans Téquation, il vient

|l=±ûc«, ou bien I = ^ûo«.

Le rayon de ^ration du triangle équilatéral autour de toute droite menée par son centre de gravité est donc égal à

Cet exemple montre qu'on peut quelquefois éviter remploi du calcul intéfçral dans la recherche des moments d'inertie.

Fig. 35.