Moment dinertie d'un polygone régulier. — Le momat
d'ineitie d'un polygone régulier est le m&ne par rapport à toute droite menée dans son plan par son centre 0 : c'est la moitié da moment d'inertie polaire du polygone par rapport à ce point 0* Soient
AB = a le c6té du polygone, 0C = h rapothème, n le nombre des côtés.
La surface 0 du polygone sera égale à - nah.
Soit I le moment d'inertie polaire. Si au polygone donné nous substituons uu polygone semblable concentrique, dans lequel les dimensions a et h deviennent respectivement a + da, h + dk^ le moment d'inertie I par rapport au centre s'accroîtra de la somme des moments d'inertie» par rapport au même point, des bandes additionnelles ABB'A', qui s'ajoutent à chaque triangle OAB. Ces bandes sont assimilables à des rectangles qui auraient pour base AB=a et pour hauteur CC =r dh. Leur surface est donc adh^ et leur moment d'inertie polaire par rapport au point 0 est la somme des moments d'inertie de la surface ABB'A' par rapport à l'axe OC, et par rapport à une droite menée au point G dans le plan de h figure, perpendiculairement à OC. Le premier moment est égal à
et le second à adh X A*. Donc
dl = nadh x
fê + "•)■
Mais les deux variables a et h sont dans un rapport constant, et nous pouvons remplacer a par kh, k étant une constante. On en
MOMENT D*INERTiE DES POLYGONES RÉGULIERS. 89
dédait
dl = nkhdhÇjj- + h*\ = nkh^dh ({ 4 j^) ; d'où résulte, en intégrant,
ou bien
nkh
Prenant la moitié de cette somme, on aara le moment d'inertie cherché
En fonction du rayon R du cercle circonscrit et da nombre ?i de cdtés, on aurait
h = Rcos-, n
a = 2Rsin-, n
et
— V TiR'sm — ( 7 C03« - + TS î*»n»- ) . 2 /* \4 71 12 nj
Applications particulières.
Triangle équilatéral :
a côté.
Carré:
h apothème = — -s^^
a c5lè, *-2'
Hexagone régulier :
a côté.
Io=ûa»Xjj, p,= a
Cercle :
58. Comparaison des polygones réguliers légale superficie^ an point de vue de F inégalité des pressions locales développées par une force normale P.
Soient Û Faire commune à tous les polygones considérés ;
p le rayon de giration de cette aire par rapport à une droite quelconque menée par son centre dans son plan ; p la distance du centre au point d'application de la force P.
La pression par unité de surface R, au point dont Fabscisse esi w^ est donnée par la formule
p est une fonction de Û et du nombre de côtés du polygone. L'inégalité de la distribution des pressions peut être évaluée de deux laçons : 1* par l'inclinûson plus ou moins grande du plan dont les ordonnées représentent les valeurs de R ; a* par l'écart entre la près-
P sion moyenne ^ et la pression au point le plus chargé.
Ces deux méthodes de comparûson conduisent à des résultats différents, comme il résulte des tableaux suivants.
DES POLYGONES RËGULIER&
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On trouve, en effectuant les calculs :
P0LY«0IIB8.
Triangle équiUtëral.
Carré.
Hexagone régulier.
Cercle.
Si l'on adopte le premier point de vue, on pourra représenter l'inégalité par les nombres
10j39 pour le triangle éqailalérslt iSt pour le carré, 12,47 pour rhexagonc, 12,57 pour le cercle.
L'inégalité s'accentue de plus en plus à mesure que le nombre de côtés du polygone augmente.
Si l'on adopte la seconde définition, il y a lieu de distinguer deux cas : lorsque la force P est appliquée en un point d'une droite menée du centre du polygone à l'un de ses sommets, l'inégalité cherchée
