PG PD PF PD FF " PE' PO "" PE

OU, en faisant PG = y' et en multipliant membre à membre.

Donc

oy=yî«,

et par suite

Construisons de même un contour mCn, déduit de la ligne inférieure MCN; il suffira pour trouver Uaryeirrfy d'évaluer l'aire comprise à l'intérieur du contour fermé mD'nC'm, et de la multiplier par -a\

Si l'axe OY traverse la figure, il faudra se rappeler que chaque élément - xy^dx a le signe de x ; l'ordonnée auxiliaire y* doit donc avoir aussi le signe de l'abscisse (i).

(U V. As90ciaiion françaUe pour ravaneement dei sciences, congrès de Lille, 1874, p. Ii93.

PLANIMETRE D*ÂMSLER.

PLAMMÈTRE D*AMSL£R (l)«

Fig. 38.

61. Le planimètre de M. Amsler, ingénieur à Schaffouse, a pour

objet l'évaluation des aires planes.

L'appareil repose sur le principe suivant :'

Soit AB le contour fermé, tracé dans un plan, dont on se propose d'évaluer la surface.

Imaginons qu'une droite CD de lon- . gueur constante se meuve en conservant ses deux extrémités G et D, Tune sur une courbe fixe LL', l'autre sur le contour AB.

Considérons deux positions CD, CD' infiniment voisines de la droite mobile; évaluons Taire CDD'C engendrée par le mouvement de la droite quand elle passe de la première position à la seconde. Elle se compose de deux parties : Tune CG'ED est un parallélogramme engendré par la translation de la droite CD, qui l'amène à passer au point G. L'autre est un triangle CED', engendré par la rotation de CE autour du point C, rotation qui ramène l'extrémité E de la droite au point D' qu'elle doit définitivement occuper. Soit CD = L; appelons dh la distance des parallèles CE, CD, et da Tangle ECD'. L'aire élémentaire dco = CDD'C aura pour mesure

dtù = Ldh + - L'cîa.

Supposons qu'on fixe sur CD, dans un plan perpendiculaire à cette droite, une roulette F, qui, dans le déplacement de la droite, roule sur le plan de la figure quand le point F se meut perpendiculairement à CD, et qui glisse au contraire sans tourner lorsque le point F se déplace dans la direction de CD. Dn compteur porté

(1) Voir aassi dans les Annales des p€*nU et chaussées, année 1872, t. III, p. 223, h description des appareils de M. Marcel Deprez, donnant à Tolonté Taire, le moment et le moment dlnerUe des snrtaces plRn<%8.

n PLANIMÈTRB

par rinstrument permet d'évaluer les arcs décnts par la roulette. Soit dQ l'angle dont elle tourne autour de son axe en passant de la position F à la position F ; si R est son rayon, RcA est la longueur* de Tare qu'elle applique sur le plan du papier. Or cette longueur est égale à dA, dans le passage de la position F à la position 6 sur la droite CE ; la composante du glissement parallèle à la droite CD ne contribue pas, en effet, à faire tourner la roulette, et la rotation correspond exclusivement au déplacement normal, qui est égal à dh. Dans le second mouvement, qui amène le point G au point F, la roulette applique sur le papier un arc égal à Xda, X étant la distance C'F = CF. Donc

(2) " Rd^ = dh^Xda.

Entre les relations (1) et (2) , éliminons dh ; il viendra

(3) dw— RLde = Q L« — XL") da.

L'intégrale nous donne par conséquent .

(4) o = RLO + Ç f i L« — XL\ da.

Or, si l'on fait parcourir au point P tout le contour de la figure A, les éléments du> étant pris positivement quand ils augmentent l'aire déjà balayée par la droite mobile, et négativement quand ils

la diminuent, la somme algébrique \du> sera la différence entre les

sommes positives et les sommes négatives, c'est-à-dire l'aire cherchée*

Quant à \da, c'est l'angle total décrit par la droite CD; c'est donczéro si

la droite CD est revenue à sa position primitive, sans avoir fait le tour entier du point C. Ceci suppose le point C extérieur à l'aire qu'on veut évaluer. Si, au contraire, le point C se mouvait intérieurement à Taire AB, la droite CD ferait un tour entier pour revenir à sa position primitive , et alors \da serait égal à 2ic. On aura donc, suivant les cas,

(5) « = RLO, OU

(6) €0 = RLe + ^i-L»— XL^ X 2«,

DAMSLER.

formnles qui donnent la somme algébrique des aires comprises entre la courbe directrice LL' et le contour donné. M. Âmsler prend, en général, pour courbe directrice un cercle

décrit d'un point fixe comme centre, ce qui revient à attacher le point G à une tige rigide pivotant autour du point 0. Dans ce cas, si le point 0 est intérieur au contour {fig. t\o) , il faut avoir soin d'ajouter à l'aire cj, donnée par l'équation (6), l'aire du cercle décrit par la branche OG de l'appareil.

Fig. 39.

Fig, 40.