DE PRESSIONS NÉGATIVES
*^'»* '*'• 71. Soit OA = 1 le rayon du cercle donné;
OC = p, la distance du centre au point d'application de la force P, distance supérieure à
T OA, pour que la force soit en dehors du noyau
central.
Supposons que la portion pressée de la section se termine à la droite FF, perpendiculaire à la droite OC à cause de la symétrie.
Soit OE = a.
Prenons pour .axes la droite OC prolongée et la perpendiculaire OY.
L'équation de la répartition sera
R = A {x 4- a), à droite de FF',
et
R = 0, k gauche.
Les quantités À et a sont inconnues. Pour les déterminer, on a les
deux équations des forces et des moments, savoir,
{%Rydx = P et CaRyxdx = Pp;
(1) Y. Annales des ponts et chaussées, 1867; Mémoire de M. Alfred Darand*CIaye sur La stabilité des voûtes.
DANS LE CERCLE. Ii3
ces intégralea doivent être prises entre les limites â?=«— a et Sabstitoant, il vient
8A f \ xydx + a ^ ydxj = P, SA f \ xh/dx + a \ xt/dxj = Pp.
Pour faire les intégrations» il convient de .changer de variable.
Fdsons â; = cosO; il en résulte y = sinO, d!r = — sinBdQ. La droite-limite FF sera définie par une valeur 0' de Tangle 0, et Ton aura a = — cos O'. Les équations précédentes deviennent donc, en observant que la limite inférieure correspond à 0 = V et la supérieure à 0 s= o,
«A r r (— C08 esin«We) — cosO' T (—sin'OdO) 1 = P» 2A \y (— C08«e sin« WO) — cos 0' T (— cos 0 sin'Ode) = ?p ;
OU bien, en changeant Tordre des limites et le signe des intégrales,
2A ^y sin'ecosWe— co8e'Ç*'8in•e<W^ = p,
2A ( C* sin«0 cos^OdO — cos 6' ^' 8in«6 cos 6(28^ = Pp.
Les quadratures indiquées se font aisément, et donnent
jMn»«coB»0(M =Ç*' i sin*36<{e = i Ç''sin»2ed(8e) = K** — ^^^) •
Sobstituons dans les deux équations, puis divisons l'une par rantre; Â s'élimine, et il vient pour détenniner 0* l'équation
6' siniO' ^, sïn»e'
sin«0' ^, /8' sin2e'\
co8e'(- j
Cest une équation transcendante qu'on ne peut résoudre que par tâtonnement.
On sait d'avance que /> = y donne V = ic, tout le cercle subissant
alors une pression. On voit aussi que /> = i donne V = o, la région utile se réduisant à zéro quand la force P passe en un point du périmètre du cercle.
Pour rendre les calculs plus simples, on pourra remplacer sin' V
par -sinO' — ysinSO'* On obtient facilement le tracé de la courbe
suivante, dont les ordonnées p correspondent aux abscisses V :
Fig. 5t
Angle 6' en degrés.
Valeur correspondante de 0 en centièmes dtt rayon
Connaissant V ou a en fonction de p^ on déterminera A par Téquation des forces,
sin»Ô'
^,/0' singO'X'
et on aura tout ce qu'il faut pour définir le plan eo^, dont les ordonnées représentent en chaque point les pressions R par unité de surface.
