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et le volume total de la tour, qui a une hauteur infinie, sera fini et

. , , iïR/'*o «

égal à — — i. Ce cas parUculier n'est évidemment pas réalisable en

pratique.

^^* 78. Cherchons à résoudre le même pro-

blème pour une tour creuse.

Nous supposerons que la partie creose de la tour soit un cylindre droit à base circulaire, HKLM, de rayon donné, OL.

La solution peut être obtenue directement; elle peut aussi se déduire de la solution relative à la tour pleine.

Considérons une section horizontale quelconque EF ; elle coupera le solide suivant une couronne annulaire projetée horizontalement entre les circonférences de rayon O'E' et de rayon O'K'.

Imaginons une tour pleine d'égale résistance, qui ait la même hauteur h que la tour cruse, avec la même surcharge N au sommet, et qui soit

DÉGALE RÉSISTANCE. 127

enfin soumise en tout point à la pression R. Le problème sera résolu pour la tour creuse, si les sections pleines des deux tours, pour une même hauteur du plan sécant, sont équivalentes; car alors les poids seront les mêmes de part et d'autre, ainsi que les surfaces sur les- \ quelles ces poids se répartissent également. Or, la section pleine de la tour creuse à la hauteur du plan £F est Tanneau compris entre les circonférences O'E', O'K'; elle est mesurée par la différence «(Ô^— Ô'*T) , OS et O'T étant les rayons de ces deux circonférences. Menons en un point T du petit cercle O'K une tangente TS à ce cercle, jusqu'à la rencontre en S avec le cercle extérieur. La différence ÔS* — ÏÏT sera égale à ST* ; donc ST est le rayon du parallèle de la section pleine à la hauteur du plan EF. Si, le long d'une arête quelconque (T, OZ) du cylindre droit qui limite intérieurement l'épaisseur de la tour, on mène un plan tangent à ce cylindre, il coupera la surface extérieure de la tour suivant une courbe qui sera le méridien de la tour pleine équivalente. En prenant pour le point T le pied de l'arête antérieure du cylindre, la courbe d'intersection se projettera en vraie grandeur sur le plan vertical suivant le tracé B^S'G^. Cette courbe est la méridienne déterminée dans le problème précédent; on la construira comme si la droite (T, OZ) était l'axe d'une tour pleine. Puis on la fera tourner autour de la droite (O', OZ) , et l'on déterminera l'intersection de la surface ainsi engendrée avec le plan vertical dont la trace est D'A'; cette intersection sera le méridien cherché. C'est de la même manière qu'on construit la surface de l'hyperboloîde de révolution par la rotation autour de l'axe d*une droite non contenue dans un plan méridien.

Pour avoir l'équation du méridien de la tour creuse, il suffit, dans réquation de la courbe B^C^ ,

de remplacer le rayon r de la tour pleine par l'expression ^r^^ — a*, où / est le rayon extérieur de la tour creuse, et a le rayon constant du cylindre vide ménagé à l'intérieur. L'équation

in * TRAVAIL CORRESPONDANT

OU bien

représentera la courbe BG cherchée.

Les formes que nous avons trouvées dans ces deux problèmes présentent un empâtement vers la base. Poncelet observe que cet empâtement contribue à donner aux massifs de la résistance aux actions transversales, telles que l'action du vent. C'est la forme adoptée pour les phares en mer ; elle se dessine aussi naturellement au pied des arbres, où elle accroît la résistance du tronc aux efforts exercés par le vent.

TAAVAU. CORRESPONDANT A L'ÉLÊVATION DES MATÉRIAUX PENDANT LA CONSTRUCTION d'uN MASSIF.

79. Soit S la section pleine obtenue en coupant un massif par un plan horizontal mené à la hauteur z au-dessus du sol. Le poids de la tranche comprise dans le massif entre ce plan et le plan infiniment voisin z + dz sera le produit

pSdz,

p désignant le poids spécifique des matériaux qui composent la tranche. L'élévation de ces matériaux à partir du sol jusqu'à la hauteur z représente un travail égal à

et si l'on divise par dz^ le produit pSz est en quelque sorte la mesure de la difficulté qu'on éprouve, à la hauteur z^ pour accroître d'une unité la hauteur du massif.

Le travail total de l'élévation du massif, supposé homogène et porté à la hauteur totale A, est donné par l'intégrale

= p Ç Szdz,

A L*ÉLÉVATION DES MATÉRIAUX. if9

laquelle est égale à j9^iX \ Sdz^en appelant z^ la hauteur du centre

de gravité du massif.

(Appliquons cette remarque à une pyramide de base B et de hauteur A. A la hauteur z, qui est à la distance h — z au-dessous di sommet de la pyramide, la section S sera donnée par la proportion

et par suite on a

p Szdz = p ^ (A — z)*zd2 ;

Le travail total de l'élévation des matériaux est

T = lpBAx|A = ^pBA«;

et la mesure de la difficulté que présente à la hauteur z Faugmentalion de hauteur égale à Tunité, est le produit

* P 5JÎ (^ -^ «)'^-

Cette fonction est nulle pour z = o et pour z = hf c'est-à-dire à la base, où l'élévation est nulle, et au sommet, où elle porte sur nne quantité infiniment petite. Elle est maximum lorsque le produit (/i — 2)* X z est maximum, c'est-à-dire lorsque

ou enfin lorsque z = ? , ou au tiers de la hauteur. Elle est égale à »7