GoDsidéroDS nue pièce prismatique MN, en équilibre sous

ng.05, l'action de forces normales

-rj^ « à sa direction, données de -Pi, grandeur et de position, et

toutes situées dans un même plan, qui sera pour la pièce un plan de symétrie. C!oupons-la par un plan PQ perpendiculaire à sa longueur.

Le plan PQ partage la pièce en deux tronçons, qui sont en équilibre chacun, sous Taction des forces extérieures qui y sont spécialement appliquées et des forces moléculaires développées dans la section PQ. Ces forces moléculaires font donc équilibre aux force» extérieures qui sollicitent Tun quelconque des deux tronçons.

Prenons en particulier le tronçon PQN ; soientF, F, F'.... les forces

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normales qui agissent sur lui; soient de plus /, f^ /".... les distances de ces forces à la section PQ, ou les bras de levier de ces forces par rapport à un point quelconque de cette section. Les forces moléculaires dans le plan PQ se réduisent donc pour Téquilibre : 1* à une force A» égale et opposée à la somme algébrique

a*" à un couple M, égal et opposé à la somme des moments

Gela posé, on appelle :

Effort tranchant dans la section PQ, la résultante F + F + F*+,.. des forces qui tendent à faire glisser la portion PQN sur la portion PQM, en cisaillant la pièce suivant le plan PQ;

Résistance à t effort tranchant la force moléculaire A, égale et contraire à l'effort tranchant ;

Moment fléchissant ou moment de rupture^ le couple résultant F/+F'/'+F"/''+«-*« d^ moments des forces extérieures qui tendent à courber la pièce dans la section PQ ;

Moment d élasticité^ le couple résultant M des actions moléculaires développées dans la section PQ, égal et opposé au moment fléchissant. Nous adoptons cette définition du moment d* élasticité, conformément à l'usage adoptai pai* plusieurs auteurs, notamment par Bélanger (i) et par Delaunay (2). Mais nous verrons plus loin que d'autres auteurs donnent à l'expression moment d élasticité une signification différente. Pour éviter toute confusion on pourrait appeler le moment d'élasticité, tel que nous l'avons défini, moment du couple résultant des forces élastiques. La confusion n'est du reste pas à craindre (3).

EXPRESSIONS DIVERSES DU MOxVlENT D* ÉLASTICITÉ*

SA. Soient AB, A'B' deux sections transversales infiniment voisines faites dans la pièce, et parallèles dans l'état natiœeL Après la

(1) Cours de l'École des ponts et chaussées.

I2) Mécanique rationnelle, liy. l\\, p. 228.

(3) M. Bresse a donné à ce mouient des forces élastiques le nom de moment (Tin* flexibilité, pour montrer qu'il s'agit des forces qui résistent à la flexion, et qui éqailibreut le moment fléchissant.

MOMENT D*ËLASTICITÉ.

Ul

déformation du prisme, on peut concevoir que la position nouvelle

de la section A6 soit ramenée à coïncider avec sa position primitive, et alors les molécules de la section A'B' prennent une certaine position A^'B"» différente de MV. L'hypothèse de Jacques Bernoulli revient à admettre qu'après la déformation, les molécules primitivement situées dans le plan normal A'B' appartiennent encore à un plan k"V perpendiculaire au plan de symétrie, et normal à la pièce fléchie. Ces deux plans A"B" et h'V se coupent suivant une droite projetée en 6. ^ Considérons le prisme élémentaire ayant pour

base Télément de section projeté en mn dans la section AB ; ce prisme avait avant la déformation la longueur mm' ; après la déformation» sa longueur devient mm". Désignant par co la section de la base projetée en mn^ l'extension du prisme élémentaire représente une

tension égale à

Eo> X m'm"

mm

Ce sont toutes les forces analogues qui doivent se réduire à un couple, dont le moment doit être égal au moment d'élasticité de la pièce dans la section AB.

Pour cela, il faut et il suffit que la somme algébrique de toutes ces forces parallèles soit égale à zéro, ce que Ton exprin^e en posant

mm'

La somme S doit être étendu? à toute la section A'B'. Cette équation se réduit à £ (a> x nini') = o»en faisant sortir du signe S les facteurs

constants E et

rnnif*

Mais dans le triangle Gnini\ nini' est proportionnel à 6m', de aorte que l'équaUon précédente revient à celle-ci

^(«xGm') = 0;