APPLICATIONS
Détermination des efforts tranchants et des moments fléchissants dans une poutre droite posée sur deux appuis de niveau.
82. Les forces extérieures qui agirent sur la poutre sont» d'une
Fig. 70 .
part, les poids qu'elle porte et qu'on suppose donnés, et, d'autre part, les réactions des appuis.
i" CAS. — Les poids donnés se réduisent à une charge également répartie sur la longueur de la pièce.
Soient AB la poutre, A et B les appuis; soit enfin p le poids uni* formément réparti par unité de longueur.
Les réactions des appuis seront verticales et égales à — •
Prenons le point A pour origine et AB pour axe des abscisses , puis considérons un point M défini par son abscisse AM = x. Le moment fléchissant M des forces extérieures agiijsant sur la pièce entre la section M et Tune des extrémités A sera égal à la différence
pa xi
^ xx — pxx j = 2?î(ax — a:*) = M.
L'effort tranchant A dans la section M est égal à la différence
pa .
— — px= A.
On reconnaît sur le champ
1* Que le moment fléchissant M est proportionnel à l'ordonnée d'une parabole dont l'équation seridt
le facteur m étant introduit pour rendre l'équation homogène et dépendant seulement du choix de l'échelle des hauteurs ;
Que M est nul au point A etau point B pour a; = o et pour â? = a,
et qu'il est maximum au point G, milieu de la portée, pom* a; = ^ ; il est alors égal à - pa} ;
2* Que Teffort tranchant A est proportionnel à l'ordonnée d'une droite représentée par l'équation
pa
n étant de même un facteur dépendant du choix de l'échelle des hauteurs ;
Que A est nul au point G ; si on le prend positivement dans la régioD CA, il acquiert une valeur négative dans la région GB ; il atteint sa valeur absolue maximum aux deux points A et B ; il est alors égal
Si l'on compare les deux équations
M = 2 p{ax — x\ A=2Pci — px.
on voit que A = ;t^, c'esl-à-dire que l'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant par rapport à l'abscisse.
La parabole ADB, qui passe par les points A et B et qui a pour axe la verticale CD menée par le milieu G de la portée, représente par ses ordonnées les valeurs du moment fléchissant en un point quelconque M» Si l'ordonnée maximum CD représente le moment de rupture maximum,
-joa', l'ordonnée MF élevée au point M représentera à la même
échelle le moment fléchissant en M. Si l'on prend de même à une
échelle arbitraire AE = ^ et qu'on joigne EC, l'ordonnée MH repré-
sentera, à cette seconde échelle, la valeur de TelTort tranchant au point M.
Il est facile de trouver la charge de la matière par unité de surface dans une section M quelconque.
Soient Q l'aire totale de la section ;
I, le moment d'inertie de la section par rapport à une horizontale menée dans son plan par son centre de gravité ; R, la charge par unité de surface en un point de la section
défmi par sa distance t> à la fibre neutre ; R', la résistance moyenne à l' effort tranchant par unité de surface.
On aura en un point quelconque
d'où Ton lire A=R'Û '
Si l'on cherche, au contraire, la forme de l'axe neutre après la déformation, on prendra l'équation :
'''S="=ip(""-"'>'
tfoù l'on tire, en intégrant deux fois, '. .' ;- '. -f ^^ ^
El(g-tang9) = lpax«-ipx», El (y — xlang5>j = j-paa:»— Ipx»
et Ton déterminera la valeur de la constante tang <p en observant que pour â; = 2 on doit avoir ^ = o ; œ qui donne
tang 9 = —
L'angle f est l'angle que fait au point A avec Thorizon Taxe neutre déformé.
Substituant cette valeur dans la dernière équation et faisant,. :]
x = ^,ona
- ïv's
y = -Er^384^-
La valeur absolue de y est la flèche prise par la poutre. 83. a' Cas. Pièce posée sur deux appuis et sollicitée par un poids
"■ unique^ P, donné de position et de gran^ dé».
Soît
ay
et par suite
BE = a — 6.
La réaction X au point A sera déterminée par l'équation des moments autour du point B; on aura
donc
et de même
Xxa=:PX(a — 6),
Du point A au point E, le moment fléchissant en un point M quelconque, est égal à X x, ou à — ' x^ x étant la distance va-
riable AM. Du point E au point B, le moment fléchissant en un point
N, est représenté parX x — P {x — i) = — ^ P {x — 4),
X étant encore Tabscisse AN du point N.
Le moment fléchissant M varie donc du point A au point E proportionnellement aux ordonnées d'une droite AF, dont la plus grande
ordonnée, EF, représente la valeur ^ "^ ' — du moment fléchis-
Cw
saut pour x = b. De E en 6, le moment fléchissant est représenté par les ordonnées de la droite PB.
L'effort tranchant entre A et F est partout égal à X = ^ ' ,
Pô et entre E et B, partout égal à — Y ou à ; la différence de ces deux
valeurs est égale à P, et chacune d'elles est la dérivée de la valeur correspondante.de M prise par rapport à l'abscisse.
Pour trouver l'équation de la fibre neutre déforméie, nous emploierons la formule
Entre les points A et E, cette équation donne
et entre A et B,
Elg=(X-P)i + P».
Intégrons deux fois chaque équation, ce qui introduira deux constantes pour chacune ; nous pouvons écrire comme il suit les équations obtenues par l'intégration : \/ ' , *'''
Tronçon AE ^ ^ « /i» »
EI(y + Cx + C') = |X^£--6«xl ,, .. ^„ .... r^«'»
El f^ + C'A = i(X~P)(x«-.fc«J + P6(a:-6) Tronçon EB { ^^ ^ \ ^
EI(y + C^x + C-')=|cX-P)^~Wxj+Pfc(|~6xj
Nous avons donc 4 constantes à déterminer ; nous le ferons en remarquant que poura;= o< y doit être nul ;
que pour x = a, y doit être nul également ; *
que pour x = fr, les deux tronçons de la courbe déformée doivent se raccorder tangentiellement, c'est-à-dire que les deux équations
doivent donner pour x=^b \q même y et le même-^ • En tout
4 équations du i*' degré par rapport aux constantes, ce qui permet d'en trouver les valeurs.
On aura d'abord
C = 0, et C = C^ pais
EI(C"a + C'^-.l(X-P)^j-6»a)-P6(~6a)=0.
Enfin, en retranchant la seconde équation de la quatriëme,après y avoir fait a; = 6, et en observant que G = G",
EIC*' = i P6> — i P6»= - i P6'.
Conn^ûssant G'", G" s'en déduit; toutes les arbitraires sont déternûnées, et la question est entièrement résolue.
SA. Si au lieu d'un poids F unique, il en avait plusieurs, on pourrait suivre une marche analogue et tracer le polygone des moments fléchissants ; on pourrait aussi traiter séparément la question pour chacun des poids, et composer ensuite par voie d'addition algébrique les ordonnées des contom-s obtenus pour chacun.
