PROBLÈME
enfin pour a: = 6» les équations de chaque tronçon doivent donner le
même y et le même -M-^ pour que les deux tronçons se raccordent
tangentiellement De là, quatre équations du premier degré qui suffisent pour déterminer te arbitraires.
PfiOBLÈME.
86. Une locomotive à quatre essieux 0, 0\ (^ , 0"' est placée sur une
p. y^ poutre AB , portée sur
deux appuis de niveau m ^-^ ^! "^ -^ -^^^w A', B, dont la distance
'^t ><^N /^^ PT.^N /^\^ est a. On connaît les
Vt
B poidsP,. P'pP,,P',qui j portent sur chacune des roues, les distances mutuelles des essieux, et la position 6 du centre de gravité de la machine, où s'applique le poids total Q = Pj + 1^1 + Pf + P'f On 'demande quelle position il faut donner à la machine sur le tablier du pont pour rendre le plus grand, possible le moment fléchissant maximum. Nous empruntons la.MK lution de ce problème à un travail de M. Barré, ingénieur civil* ^^;^. .
Les moments fléchissants sont représentés, pour chaque podâidÉ particulière de la charge, par des ordonnées d'un contour poly^ gonal \mm'm"m'"B^ dont les sommets sont situés à l'aplomb des points d'application des forces P^, P\, etc. Il en résulte que le moment fléchissant maximum correspondant à une position donnée de la charge a lieu en l'un de ces points d'application , sauf le cas où le polygone des moments aurait un côté horizontal; alors le maximum du moment fléchissant aurait lieu pour tout l'intervalle compris entre les points d'appUcation de deux forces consécutives» et il n'y aurait par conséquent aucune erreur à admettre qu'il a lieu pour un des sommets qui terminent ce côté. Nous chercherons donc le maximum du moment fléchissant aux
' PHOBLÈME. i49
points de contact des roues avec la poutre ; commb il y a quatre roues, il y a quatre points à essayer.
Soit G un de ces quatre points. Cherchons le moment fléchissant de la poutre en ce point.
Soit I le milieu de la poutre ; G' la projection sur la poutre du centre de gravité G de la machine ; nous définirons la position de la locomotive par la distance, positive ou négative, IG' = :; de son centre de gravité projeté au milieu de la portée, lia distance GG'= d, du même point au point G que nous essayons, est une donnée de la question.
Le poids total Q appliqué en G' donne sur l'appui une près-
sion X= — ^ ^. Le moment fléchissant M au point G est
^al au moment de la réaction X, diminué de la somme pi des moments des forces P, et P*, comprises entre T appui A et le point G. Noos aurons donc
Il 8*agit de trouver la valeur de z qui rend M maximum; or pi est iodëpendant de z , car le déplacement de la locomotive laisse constantes les forces Pj , F, et leurs distances au point G. Donc le maximum de M correspond au maximum du premier terme de sa valeur,
c'est-à-dire au maximum d'un produit de deux facteurs — [- z,
- + b — z. dont la somme a + b est constante ; le maximum cher-
ché correspond donc à l'égalité {des deux facteurs, ou à z = - b.
On devra par conséquent amener la locomotive dans la position ou le point I, milieu de la poutre, divise en deux parties égales la distance horizontale CG' du centre de gravité au point de contact G de la roue.
Apres avoir opéré ainsi pour l'une des roues, on opérera de même
150 PROBLËMEj
pour les trois autreft; on calculera les moments fléchissants correspondants pour chacune, et l'on retiendra seulement le plus grand des quatre moments fléchissants ainsi calculés.
La même méthode est applicable au cas où l'on voudrait tenir compte du poids propre pa de la poutre, supposé réparti uniformément. Âlorâ on aurait
et
(jL ne varie pas avec z ; le maximum de M s'obtiendra en égalant à o la dérivée du second membre, ce qui donne
ou bien
équation qui se réduit à
On voit que le rapport t est toujours compris entre - et l'unité,
et qu'il est voisin de la première ou de la seconde limite, suivant que le poids propre pa est très-petit ou très-grand par rapport à la surcharge Q.
