PROBLÈME

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Fig.78. Soient P,, P,, P^,

n poids distribués sur -^-- ^^ la portée ÂB=/, .àdes

îjT; jïïT^f distances invaiûables les

I uns des autres.

Soient a,9 a,, a^y

ces distances, comptées à partir du premier P^ de ces poids.

La position de l'ensemble sur la poutre est définie par la distance X = AM^ du premier poids à l'appui A; cette quantité est positive et moindre que / — a„, sans quoi un des poids au moins sortirait de la travée.

Le centre de gravité G du poids- P sera défini, par rapport à leur ensemble, à l'aide de l'équation des moments. Appelant v la distance H,G, on aura

i^\ + P, + ... + P») t? = P,a, + P^a, + ... + PnOn.

La réaction X de l'appui A sera donnée par l'équation des moments par rapport au point B :

= (P, + Pt+.. +POMPi+Pt+..+ P»)-r— (Pf«t+Pia3+ • +P*a")

= (P, + P,+ ... + PJ(i-x-u),

ou bien

en appelant Q le poids total, P, + P^ + + P«, engagé sur la

travée.

Le maximum de la portion du moment fléchissant dû aux surcharges a lieu en un des points d'application des forces, au point d'application du poids Pa, par exemple. Le caractère auquel on reconnaîtra

ce point est que l'effort tranchant, A = — -, change de signe d'un

côté à l'autre de la force P^; il faut donc que la différence

X — (Pi + Pi 4%.. + Pk-i) soit positive,

et que la différence

X ~ (P, + P,+ ....Pi-, + P,)Boitii*gaUve.

Or la force X est comprise entre deux limites qui correspondent, l'une à x = o, l'autre à x = l~a^. SubsUtuant ces deux limites dans les difTérences précédentes, on saura, à l'inspection des ùgnes, en quels points d'application des forces le moment Hécbissant peut acquérir la plus grande valeur.

Pour déterminer ensuite le maximum de ce moment fléchissant, il faut fare varier x de manière à-rendre le moment M lé plus grand possible. Soit k le niiméro du point d'application où le moment ûécbîssant est le plus grand de tous. On aura en ce point

, M=X(j: + a,) — P,£n— P,(ai— Œ,) — P,(«t — o,).^..-Pi,[a( — ai-,),

fonction dont le premier terme varie seul avec x. Il suffit donc de cbercber le maximum du produit

X{x+ ai) = Q (l -.^) (X + a») = ^(l-v-x){x + a,).

La somme des deux facteurs variables étant constante, le maximum

répondàl'égalité des facteurs, c'est-à-dire à x = -^ -. Si cette

valeur de x tombe entre o et / — a,, elle donne bien le maximum cberché, et l'on peut vérifier que le milieu de la distance du poids P* au centre de gravité G coïncide avec le milieu de la portée. Si au contraire la valeur de x ne tombe pas entre les limites o et / — a,, le produit X(^ + a,,) varie toujours clans le même sens pour x croissant entre ces limites, et le maximum a lieu soit pour x = o, soit pour X = / — a,.