DANS UNE POUTRE DROITE ENCASTRÉE
88. Quand une poutre est simplement posée sur un appuiy sa liaison avec fappui est telle, que la poutre, en se déformant, peut prendre une inclinaison quelconque sur sa direction primitive.
On dit qu'une poutre est encastrée sur un appuis lorsque sa liaison avec l'appui tend à réduire en ce point la déviation de la fibre neutre. L'encastrement est parfait quand la tléviation de la fibre neutre sur l'appui est rigoureusement nulle. Il y a encastrement incomplet, si la déviation de la fibre neutre, sans être nulle, est gênée par la liaison et limitée à une valeur inférieure à celle qu'elle prendrait si la poutre était posée sur l'appui.
Nous ne nous occuperons dans ce paragraphe que des encastrements parfaits.
On a une image de l'encastrement, en considérant une tige soli-
Fig. 79.
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dément pincée dans les mâchoires d'un étau, ou bien une poutre engagée par son extrémité dans un massif de maçonnerie suffisamment résistant. Un appui A, sur lequel la poutre MN serait simplement posée, ne fournirait qu'une réaction unique P. Un encastrement B, complet ou incomplet, développe au contraire à la fois deux forces Q, R, dans deux directions opposées, et équivaut par conséquent à une force R — Q et à un couple (Q, — Q); il résulte de là qu'une poutre chargée de poids peut être en équilibre en D* ayant qu'un appui unique, pourvu qu'il y ait encastrement sur
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cet appui, tandis qu'elle aurait besoin de deux appuis au moins» si elle était simplement posée.
C'est en cherchant les conditions de l'équilibre intérieur des solides encastrés que Galilée a créé, il y a deux siècles, la science de la résistance des matériaux. L'hypothèse qu il proposait était, il est vrai, inadmissible; car il plaçait la fibre neutre au point le plus bas de la section, et il supposait que les tensions développées dans tous les points de la section se composaient en une setile force appliquée au centre de gravité. L'hypothèse qu'on emploie aujourd'hui satisfait aux équations de la statique, et paraît d'ailleurs beaucoup plus voisine de la vraie loi des déformations.
Nous allons résoudre quelques problèmes sur l'équilibre intérieur des pièces encastrées.
89. 1" CAS. -^ La pièce BA est encastrée au point B dans le Fig. 80. mur CD; F extrémité A est libre et porte un
poids P donné.
La longueur libre BA de la pièce est donnée et égale à a.
Prenons un point M de la fibre neutre, et
considérons le tronçon MA. Soit 0 l'origine des
I abscisses comptées le long de OA, et soit
OM = X, On aura MA = a — x. Le moment
fléchissant au point M sera égal à- — V[a — x)^ avec le signe —
parce que la force P tend à donner à la pièce une courbure négative.
L'effort tranchant au point M sera égal à P; il est constant pour
tous les points de la portée.
Les forces dont l'encastrement tient lieu sont donc
1* Une force verticale égale à P,
2* Un couple, dont le moment est égal à Va.
Les moments fléchissants seront représentés par les ordonnées d'une droite AE, menée par le point A, et coupant la verticale en un point E, pour lequel!' ordonnée OE est égale à P«, pris à une échelle arbitraire; les efforts tranchants, par les ordonnées constantes d'une horizontale FK, menée à la distance OF = P de Taxe des abscisses.
