DES PIÈCES ENCASTRÉES
nelles aux racines carrées des abscisses ; on aura donc EF= FK x v^. L'aire GFK est les deux tiers du rectangle GFKL; Taire GEM est le tiers du rectangle GFEM.
Fig. 87. Faisons GF=j!>, FK = q;
1 on aura
l!J,"' j Surf. GFK = | />9,
Surf. GLK = Ipq,
Surf. GME = ^ (p X 3) X (g V'â) = pq >/%
Surf. MLKB = iJX (^ V^3 — ç) = p(7 v^3 - pq.
Or
Surf. GME = GLK + surf. MLKB + BKE.
Il en résulte
Surf. BKE = pq s/^—'^pg — PQ s/^ + PÇ =^ ^pq = Surf. GFK.
-Revenons à la question principale. La somme des surfaces ADI+IGK+KBE sera égale au double de la surface IGK, c'est-à-diro à
~ X IK X FG , et le rapport cherché sera égal à
flKxFG ^ ,^ IaBxF'G ^^'^^'
Or jK = "7=. Le rapport cherché est donc égal à — = = 0,09, ou
environ a 7— •
L'économie due à l'encastrement serait environ des -.
93. 4* Cas. — Pièce posée à textré7nité B, encastrée à Pextré-
mité A, et chargée uniformément dun poids p par unité de
longueur.
Kil KQUILIBRE
Appelons encore [x la valeur absolue du moment d'encastrement. k:-. ss. La charge totale pa ne se divisera
plus également entre les deux appuis,
ay car il n'y a pas symétrie; appelons
^ j^ X la réaction de l'appui A. Nous au-
El
X rons
Intégrons, et observons que pour x = o, -^ est nul:
Intégrons une seconde fois, en observant que y = o pour x=o:
Pour déterminer jx et X, nous remarquerons que la pièce étant simplement posée en B, le moment fléchissant est nul en ce point; que de plus on doit avoir
y = 0 pour X = a.
De là les derx ('équations *
Xa — -/}a*-{x = 0.
Divisons la seconde par - «'; il vient
On tue de celle-ci et de la première
5 Xa = j^ pa«, donc X = g pa.
DES PIÈCES ENCASTREES. 165
Par conséquent, la réaction Y de l'appui B est égale k-pa. On a enfin pour le moment d'encastrement, pris positivement,
Les points d'inflexion de la fibre neutre sont donnés par i'équa tion
0 = \X — -px»— a,
ou bien
X* 7 (ÏX + -r- = 0.
Les racines de ces équations sont x = a, ce qui correspond au point B, où la flexion est en effet nulle, bien qu'il n'y ait pas là, à
proprement parler, d'inflexion géométrique, et x=ja^ pour le
{Toint où la courbure de la fibre neutre change de signe.
L'encastrement a pour efiet, dans ce cas, de modifier la répartition des pressions de la poutre sur ses appuis ; au lieu d'une répariiiion
égale, l'appui sur lequel a lieu l'encastrement est chargé des - de la
pression totale.
Pour avoir la plus grande flèche prise par la poutre, on cherchera le point où la tangente est horizontale; l'abscisse en sera donnée par l'équation
On trouve d'abord j: = o, ce qui correspond au point A ; cette solution écartée, on a à résoudre l'équation du second degré
-XX — gp2«— {X= 0.
i66 PIÈCE POSÉE
OU bien
ou enfin
X» — — ax+-a*= 0,
ce qui donne
15 ± JTs
X = ax — T-r — •
De ces deux valeurs, Tune, celle qui correspond au signe +1 donne un point situé au delà du point B, qui ne peut convenir au problème. L'autre donne un point D situé entre le point G et le point B, et qui est la vraie solution cherchée : AD = ffX 0,5785.
Ce point n'est pas au milieu I de l'intervalle GB; il ne coïncide Pjg gg donc pas avec le maximum de la
valeur du moment fléchissant.
' Al étant égal à o,625a, le point D
B est k gauche du point I.
, y La courbe des moments a dans
, !/ ce cas la position EGFB. Les ef-
forts tranchants sont représentés par les ordonnées de la droite GH, passant au point I, milieu de l'intervalle GB.
94. Poutre continue posée sur trois appuis de niveau^ et portant dans chaque travée une charge également répartie,
Fig. 90. Soient A, B, G, les trois appuis,
^ I qu'on suppose de niveau ;
x^ ,y AB=fl, BC = A, les deux
portées ; p^ la charge par unité de longueur dans la première, et q la charge par unité de longueur dans la seconde.
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