DE LA FLEXION
entre le point a:= o et le point dont l'abscisse est x. Nous aurons l'équation
ou bien
1 M p""EP
et par suite
El M«
P« ~ El*
Donc Intégrons par partie la différentielle Wdx. Il vient
Or \ yidx est égal au produit de El par la variation de Tin-
clinaison -^ de la fibre neutre déformée, entre les deux extrémités ax
du ironçon que Ton considère ; nous pouvons donc poser Par suite
î«J.,,.= E,S.«[|-(|)J = E,Jg..-E,J(|),..
= E.5Adi,-El(|)/.
Donc enfin
S>«x = EI»[|-(|)J-E,J:*^+E,.(|);'
Si Ton prend la poutre entière, posée ou encastrée sur ses appuis
4ÎI8 GLISSEMENT LONGITUDINAL
extrêmes, on aura pour la limile a: = /, soit M = o, soit -^^ = o, et alors
C MVx= — ElTAcfy.
Le travail de la déformation est donc égal à
-i^Ady.
Les limites de l'intégrale sont relatives à l'abscisse x. 106. Exemple. Prenons une poutre droite de longueur /, posée sur deux appuis de niveau, et chargée d'un poids Q en son milieu.
On aura A = — depuis ^ = o jusqu'à j:=-, et A = depuis
w = - jusqu'à x — l.k est donc constant dans tcpte l'étendue de
chaque demi-poutre.
Or soit / la flèche. L'intégrale indiquée devient
^X=o Jx=o 2 Jx-- 2
et le travail des forces élastiques est par conséquent négatif et égal
à Q/*, moitié du travail du poids Q s'abaissant de la quantité /;
résultat analogue à celui que Ton constate dans l'allongement d'un prisme élastique sous l'action d'un poids Q.
RÉPARTITION DE l'eFFORT TRANCHANT ET GLISSEMENT LONGITUDINAL
DES FIRRES.
107. La théorie de la résistance au glissement longitudinal des fibres n'a été introduite dans l'enseignement élémentaire qu'à la suite d'une série d'expériences faites en Russie, par M. le colonel Jourafski, sur
DES FIBRES. ' *1; ' ^i *^9
la flexioD de pièces formées de planches superposées (i). Voici comment on peut se rendre compte de ce nouvel eflet.
Coupons la poutre par deux plans normaux infiniment voisins, PQ,
Pig ^Q^ P'Q', définis par leurs abscisses x et
p p, x-^-dx] soit G G' le plan de la fibre
|, /^— N neutre. Menons, parallèlement , à ce
[^ " ^ plan, deux plans infiniment^^nllB
\ y mm\ nn\ définis par leursjSBSn-
nées Gm = v, et Gn =r. v -\- dt\ Ces
deux plans taitercepteront dans l'élément de hi poutre PQQ'P'^tme
tranche ou fibre particulière, projetée en mrrivln,
La pression R développée par là flexion srtir l'unité de surface au point m est donnée par l'équation
— = M , d'où Ton tire R = îîî^.
Appelons u la largeur de la section de la poutre au point m. La section transversale de la fibre mrdrin est égale à udv\ et, par suite, la fibre reçoit sur sa face mn une pression totale égale à Ycudv.
Sur sa face rriri^ la fibre reçoit en sens contraire une pression totale égale à R'wrfr, en appelant R' la valeur que prend R dans la section niri ; en somme, la fibre mrri est sollicitée par une pression totale égale à la difl*érence (R' — R)wrft;. Mais R' — R est la diflérentielle partielle de R relativement à a:, et nous pouvons ^remplacer, suiramt
rfR la notation consacrée, R' — R par — ctr; la poussée subie par la
fibre est donc mesurée par l'expression analytique
ax
Cette force horizontale est équilibrée par les actions moléculaires développées par la cohéstl^n de la matière dans les plans mrri^ nri.
(1) Annales des ponts et chaussées^ 1856.
200 ^, ; i GLISSEMENT LONGITUDINAL
Désignons par S la mesure de cette force de cohésion, rapportée à r unité de surface, dans le plan mm!. S sera, dans l'intervalle des plans PQ, FQ', une fonction de r, et nous retrouverons cette force dans le plan nn', augmentée de sa différentielle partielle relative à v, et dirigée en sens contraire.
La surface d'application de la première force est égale à t^; la
surUce d'application de la seconde est ( w + -j- rft; )<fe, et prenant
la différence de ces actions contraires, il vient, en effaçant les infiniment petits du second ordre,
= -y- udvdx + S -7- dvdx dv dv
as.' \ ' dvdx, dv
L'équation des forces projetées sur un axe parallèle à la poutre est donc simplement
ou bien
u T- dxdv = \ ■ dvdx, dx dv
dK d(Su) u — = — ^ — dx dv
Supposons que la section de la pièce soit la même en tous les points de la portée. De l'équation R == — , dans laquelle I sera constant, on déduira, en prenant la dérivée par rapport à or.
et
dR v dM clr "~ I dx
Av I '
d(Su) Aifv dv ~ I
L'effort tranchant total, A, est une foncl^pa de x seul; on aura donc, en intégrant sans faire varier a:,
