DES FIBRES
H étant une constante arbitraire par rapport à v, c'est-à-dire une fonction de x seul.
 et I peuvent sortir du signe J, puisqu'ils sont indépendants de v; posons
\ tevdv = <p(r);
la fonction <f est déterminée par la forme même de la section ; c'est une fonction continue quelle que soit cette forme, et elle s'annule pour t; = o, c'est-à-dire pour la fibre moyenne ; elle exprime la somme des moments des éléments de sections par rapport à la ligne neutre. On a en définitiYe ;
Si l'on fait v =? o, et qu'on appelle u^ la valeur correspondante de u^ ou la largeur de la pièce dans le plan de la fibre moyenne, il vient H = u«S«. Le produit t^S est la mesure de la résistance totale au glissement des fibres, rapportée à l'unité de longueur de la poutre, pour une fibre définie par la quantité v; H est cette même mesure pour le plan de la fibre neutre.
Pour trouver la valeur de H, faisons v = v\ valeur extrême de v ; nous devrons trouver S r o, puisqu'il n'y a plus de cohésion sur la fibre extrême de la jfiBfiii. Donc
(t/), et j»r conséquent wS = y [?(«) — f Wt
108. La considération du glissensèd^ngitudinal coppit' à la répartition de l'efibrt tranchant total/À^ mtre les difiré]:flM8v|x>iiits de la section PQ.
Appelons T la résistance à l'effort tranchant rapportée à l'unité de
surface, telle qu elle existe dans la fibre mn. La résistance totale développée en mn sera ir Tiudv. Dans la section m'n', nous ^rons de même une résistance TWt;, et T' ne différera de T que d'une quantité infiniment petite, égale à la difiérentielle partielle de T par rapport à àE
Pig. 106.
0™ ti^
De même les résistances au glissement étant S et S' par unité de surface, les résistances totales sont Sudx, et S'w'rfx, S' et t/ différant respectivement de S et de m, de quantités infiniment petites, égales à leurs différentielles partielles par rapport à w.
La fibre est encore sollicitée par des forces, Rwrfr, RWr,qui s'exercent dans le sens de la longueur et suivant la ligne moyenne de la fibre, et par une force /i qu'on peut supposer appliquée en un point 0 de cette ligne moyenne, et qui représente la part des forces extérieures appliquée directement à cette fibre.
Prenons par rapport au point 0, le moment de toutes ces forces qui se font équilibre. Les moments des forces R, R' et / seront nuls, puisque ces forces passent par le centre des moments. Restent donc les moments des forces S, S', T, T, qui sur la figure tendent toutes à faire tourner dans le' même sens leurs points d'application. Ces forces, différant infiniment peu deux à deux, se réduisent à la Umite à deux couples, et la somme des moments de ces couples dcHtrêtre égale à zéro : on a donc
Siidx xdv-\- Tudv^ dx= 0, éi par suite S + T = 0, ou T = — S,
à*où résulte le théorème suivant : En un point quelconque^ la résistance au glissement longitudinal des fibres est égale ^ en vakuf ttftsolue, à la résistance locale à f effort tranchant, rappQrÊé$ à t unité de surface (i).
. 109. Application au reuè^î/k axb.
Fig. 107 ■■ ''%)0%,:, ■
On aura
Uir= a,.
(1) Cette ëgalitâ^n'est qu'an cas particulier d'une proposition beaucoup plus générale de ia ttiéorie de i'élasUcité. En un point donné d'un corps solide, menons trois plans rectangulaires; évaluons les foices élastiques rapportées à Tunité de surface qui s'exer-
DE L'EFFORT TRANCHANT
uvdv = \ avdv = ^ aw*
L* équation deviendra
Sa =
s« = j(?(»)-«Ko'))
-^ajj, ou 8=5^(^-35— 5J.
3 /A\ Pour r = o, onaS = f-7|;la résistance au glissement longitudinal est donc égale, en valeur absolue, à une fois et demie l'effort tranchant moyen -v.
Pour r = zi: -, on a S = o, pour les faces horizontales de la pièce.
110. Application à la poutre dtnible T. — §oit b la hauteur de la Tfdtfte ; b' la hauteur de Tâme ; a la largeur des tables ; /t, celle
de l'âme ; et soit c l'épaisseur des tables en sorte que 6 = 6' + 2c.
Nous aurons de plus u = ky pour les valeurs de v
Fig. 108.
il—,
te
comprises entre
~ et H — , et î/ fc « pour les
valeurs de V comprises entre et , d'une
part, et entre A — et + -> de l'autre. * 22
eent en ce point sur chacun d'eux; décomposons-les ensuite parallèlement aux trois axes fonnés par les intersections mutelles de ces plans; nous aurons ainsi pour chaque phn trois composantes, l'une normale au plan, et les deux autres situées dans le plan. Nout appellerons celles-ci imposantes tangenlielles. Cela posé, deux composantes tangentlelies normales à rintersection des deux plans où elles sont contenues chacune, siMit telles entre elles, et par suite les six composantes tangentielles sont .égales deux k éma. Ce théorème peut être généralisé de la manière suivante : « Si, en un même point d'an milien solide, E et E' sont les forces élastiques oui s'exercent sur deux éléments nlaot w et tù', avant respecUvement pour normales les droites L et L', la projection « E sar L' est ^ale à la proJecUon de £' sur L. » V. Lamé, Leçons sur rélasticité, Tp* leçon.
Donc
rv i'*r |;t
\ uvdv = V kvdv = fc —. ,
si t? < — est en valeur absolue ; et
si u est, en valeur absolue, supérieur à cette limite. On a donc •
?W = ^2- de t? = 0 a v = ^
et
ri (*t> ijt fft 5' ^
9(1?) = \ ttrir + \ wrrff = 0 — — (a— /r)— de r = 3- à r = ô-
Jo Jfr' Z o 35 *
Mais
Donc
et enfin, substituant dans l'équation
on aura
si 17 est compris entre
et
„ A/ r» , ,,6'« a6« , , .,6'«\ Aa/, fc»\
si V est en dehors de ces limites. Mais ces résultats sont en défaut
U pour les fibres ± - , où la largeur u de la section varie d^une ma"
DE L'EFFORT TRANCHANT. 205
niére brusque; car notre analyse suppose expressément que u est une fonction continue de v.
111. L'effort tranchant et le moment fléchissant se répartissent dans rétendue d'une section transversale suivant des lois inverses, pour ainsi dire. La résistance à l'effort tranchant est nulle sur les fibres les plus écartées de l'axe neutre, et elle est la plus grande dans le plan de cet axe. La résistance au moment fléchissant est la plus grande aux points les plus éloignés de la fibre neutre, et elle est nulle dans le plan de cette fibre. Ces circonstances justifient l'usage adopté par les constructeurs, d'attribuer exclusivement la résistance au moment fléchissant aux tables hautes et basses d'une, poutre, et la résistance à l'effort tranchant à la paroi verticale ^(^ks réunit l'une à l'autre.
112. Reportons-nous à la question traitée au § 8 1 ; nous avions laissé de côté la détermination des efforts de glissement T„ , T^ , parallèles aux axes GU, GV {fig. 68). Connaissant la loi de répartition de l'effort trv\nchant, nous pouvons en fixer leè valeurs.
Observons d'abord que dans l'analyse du § 8i , la variable u n'a paS' la même signification que dans le calcul du § 107. Dans c&r dernier paragraphe, u représente la largeur totale de la section à la distance v de la fibre neutre 5 dans le § 8 1 , m est une ordonnée conjptée à partir de Taxe de symétrie GV, perpendiculairement à cet axe. Revenons, à cette notatioàt'iuras aurons à satisfaire aux trois équations 'ï^^t
Tududv = 0,
fi' fi fi
Tvdudv = Ai
(T„u — T„r) dudv = 0.
Les doubles sommes sont étendues à tous les éléments de la section. On voit sur-le-champ qu'on satisfait à ces équations en posant T«= 0, et en prenant pour T^ une fonction de v seul. Les équations se réduisent alors à deux, savoir
fi
Tududv = A
et
fi
et pour la simplicité de l'écriture nous supprimerons Tindice de T,» . la confusion avec T„ n'étant plus possible, puisque ce dernier effort est supposé nul et disparaît des équatioijs.
La dernière équation est satisfaite d'elle-même, à cause de la symétrie de la section par rapport à son plan moyen VGX {fig. 68).
L'intégrale \ Hiidudv prise par rapport à u est nulle pour une bande
entière de la section à la hauteur définie par la quantité u, puisque T, fonction de v seul, est constapt pour tous les points de celte bande, et que le centre de gravité est sur Taxe GV. Reste à vérifier l'équation
Wldudv = A,
lorsqu'on y fait T = — S, en continuant d'appeler S la résistance par
unité de surface au glissement longitudinal. La largeur totale de la
section à la distance v de la fibre neutre n'est plus exprimée par
w, mais bien par *2ii^ ti étant l'ordonnée positive du contour de la
section. Intégrons d'abord la différentielle du entre les limites — m
et -\'Uy nous aurons *. '^ •
\ ^ 2Twdi; = A; "^
nous prenons l'intégrale entre les lio&îl^' v' et v'\ qui correspondent aux points de la section les plus éloignés de la fibre neutre. Mais (S 107)
Sx2tf = \ V X 2tttîa» = t\ ^uvdv.
Soit donc
^^%uvdv = F(t),
fonction qui s'annule pour v = v' Qi pour v = v\ Nous aurons
. *■ 2TMdu==— 2SMrfu = -^F(t;),
et par suite
Intégrons par parties, il viendra
\, F {v)dv = rF(t') - \ v¥' (i) dv = vF (v) — [ Uv^dv,
Aux limites, ¥{v) est nulle; donc
Donc .enfin
DE L'EFFORT TRANCHANT
F{v)dv= -\ 2uv^dv = -
%Tudv = Y X 1 = A,
et la vérification est opérée.
s \tn
