DE CLAPEYRON
Od en déduit
ce qui fait connaître la réaction S ; ensuite
équation des moments des forces par rapport au point 0. On suppose les bras de levier ^ et ^ connus, au moins par approximation. On a déterminé S^ l'équation des moments fait connaître T :
On saura donc quelle force doit développer le coin K pour que là ^j*'- >. poutre soit dans les mêmes conditions qu'une poutre encastrée entre les secdons MN et M'N'. Mais il ne faut pas perdre de vue qu'alors la
compression T règne dans toute la pièce, et ^[u'à la charge -y par
unité de surfaceen un p6int d'une sectioil quelconque, il faut ajouter la
T charge - , correspondante à cet efiortidA compression.
PIÈGB PRESSÉE PAB SES ABOUTS.
119. Piêce^iliieyamprimée dans k sens de sa longueur par une fis. 120. 'forcé constante F.
Une jj^utre droite OA, comprimtte dans le «ens de sa Immeur par une force constante F, . peut se troamc:dans un état d'équilibre instable ; si un
accident quelconque vient la dénu|pr de cet 'étàk<t
en y produisant uneiAgère courbure, la flexion cootimence, et en général, une fois commeJÂtée, elle ne s'arrête aucune limite. Nous nous proposons d'étudier en détail ce cas jparticulier.
Prenons poiu: axe des x la droite OA elle-même ;
pour axe des y, une perpendiculaire à OA menée dans le plan où la flexion s'est produite, et supposons que les deux extrémités 0 et A de la tige soient assujetties à rester sur Taxe OX ; Tune est fixée au point 0, l'autre est mobile le long de la droite AO. Considérons une section transversale M. Cette section supporte
une compression - par unité de surface. Quant au moment fléchis-
sant, il est nul dans l'état naturel de la pièce, et il ne commence à avoir une valeur différente dç zéro que quand la pièce est déjà fléchie. On ne peut donc pas ici faire entrer dans Téquation les moments des forces prises dans l'état natui*el, comme nous l'avons fsdt dans tous les problèmes précédemment traités.
Admettons donc que la poutre ait pris une certaine courbure AM'O, assez faible pour que la corde kO = a soit sensiblement égale à l'arc AM'O. Le moment fléchissant au point M' sera le produit de la force F par le bras de levier MM' de la force, lequel bras de levier est égal à l'ordonnée de la courbe AM'O prise positivement, c'està-dire à— jy. L'équation de la fibre neutre sera donc
OU bien
Cette équation est une équation difl'érentielle liaéaire du ordre. A un coefficient constant près, la seconde dérivée de y par rapport à x doit être égale à y changé de signe; on voit immédiatement que y peut 36tre exprimé par une fonction linéaire du sinus et du cosinus 4'un arc proportionnel à a:, et-^^iiiMne l'intégrale gé> . nérale que nous cherchons doit renfermer Mieux constantes arbi-l tqdres, nous poserons '-^
^ y == A èoéli» + B ftiniTur,
en appelant A et B ces deux ocmstantes, et m un facteur com]^^
tement déterminé. "^^
Prenant en effet la seconde dérivéetle y par rapport k x/il vieBt
-t4 = —A™' f^os mx — Bm' siii mx = — m'y, et comparant à l'équation
on Toit que l'on doit prendre
Adoptons le signe sopérïeur, et substituons dans l'intégrale générale j elle deviendra
y = A GOS \
■«""Vh'
Dans cette équation, il y a deux arbitraires A et B qu'on doit cibéCr cher à déterminer d'après les conditions particulières du problème. Si l'on fait 9== Ot.on doit avoir y = o. Or l'intégrale générale dunne alors y = A. .fiÉÉL^F^o, et l'équation de la OQOrbe se rùduit à
misant ensuite a; = a, on devra avoir aussi y = o. Donc, ou bien lÀoitauquei eu la pièce reste complètement rectiligne, ou bien
ce qui exige que l'afc a X \/pj .Boit uo multiple qoelconqne de la
^mi-circonférence ie; K étant ddfM^iir entiei^^[u(;j|tooque, on doit
avoir ' »
d ou 1 on tu«
L'analyse nous conduit donc à trouver une infinité de valeurs pour F, toutes comprises dans la formule
EW
et dont la moindre correspond à la moindre valeur admissible pour l'entier K, c'est-à-dire à K = i. On trouve, pour cette valeur de K,
El;:'
Telle est la moindre valeur qui puisse faire fléchir latéralement la poutre. Si F est au-dessous de cette limite, l'équilibre exige que B soit nul, et la flexion latérale est impossible ; dans ce cas, la com- {Mression ne compromet pas la stabilité de l'équilibre.
120. Si la pièce était assujettie à passer par un point fixe G
au milieu de sa longueur, l'ordonnée y devrait
Fig. lil.
X s'annaler pour j: = - et pour x =:'a. Il faudrait dona
que l'on eût
et par suite
OU enfin
El
F = Elx
4KV
La moindre valeur de FASepût donc alors J^ -^-, c'est-à-dijEe
qu'elle serait quadruple de celle qui suffirait pour produire la flexion ^ le poin^ n'était pasi'iixé ; résultat facile à prévoir, car en réalité, ch^pne des moitiés AM'G, GM"0 de la pièce peut être considérée
commtune pièce isolée, ce qui revient à remplacer a par - dans la
PRESSÉE PArR SES ABOUTS.
EW
Tormule F = — j-- , relative au cas où il n'y a aucun point fixe entre
les extrémités de la poutre.
Fig. 122. On reconnaîtrait de la même manière que, si la
pièce avait deux points fixes, l'un au tiers, D, et l'autre aux deux tiers, E, de sa longueur, la moindre force F qui pût la faii-e fléchir serait égale à neuf fois la limite qui déterminerait la flexion si la poutre n'avait aucun point fixe entre A et 0.
L'équilibre d'une pièce comprimée est donc stable
lorsque la compression est moindre qu'une force
—— F lie'
^ ® ~~~ égale à — 5- x (n + 1)% w étant le nombre de points
équidistants, ou de nœuds, qui, d'après les liaison* auxquelles la pièce est assujettie, doivent rester fixes entre ses deux extrémités.
121. Dans cette formule, figure le moment d'inertie I de la section par rapport à une droite menée dans son plan par son centre de gravi té^ perpeiidkujairement au plan suivant lequel la flexion tend à se
produire. Pour appliquer la formule à la recherche de la limite inférieure de F, il faudra prendre celui de tous les moments d'inertie qui a la moindre valeur. Par exemple, si la
rig. m.?
section est rectangulaire, et si* éès dimensions sont c et 6, on devra
prendre pour I le moment d'inertie I = — cô% par rapport à la
droite U\ la dimension b étant supposée plus petite que la dimension c.
Soit I = Ox p*» p étant le nîQiildre rayon de^ ^ace ; on wppour la^â^ bassèr limite de F #
"on de la sur-
if
d'où l'on tire
F = Eûp«x-^.
Fa ËQ
Qr i:;^est le raccourcissement total de
e la vgi
e OA sous l'action de la force F (§ 12). 11 faut donc que le raccourcissement de la tige soit
moindre que la quantité— *- pour que la flexion ne soit pasàci^aindre.
Si la force F est égale à sa liooiite, l'équation y = B sin i/=Y donne
pour forme d'équilibre une sinusoïde indéterminée ; car le coeiB-ii^;, cient B reste arbitraire. Dans ce cas, l'équilibre est indifférent, et, ' ' chose remarquable, les points fixes A et 0, et les points Intermédiaires, sil y en a, ne subissent, malgré la flexion, aucune tendance latérale.
Si F est supérieure à sa limite, l'équilibre a lieu lorsque B = o, mais il est instable, et si la flexion commence, non-seulement l'analyse ne détermine pas le coelBcient B, mais elle montre que l'équilibre est impossible, quelque courbure que la pièce prenne. A mesure que la pièce fléchit, les ordonnées y augmentent en valeur absolue, et par conséquent les moments fléchissants Yy croissent
aussi en valeur absolue, de sorte que la tendance à la déformation s'accroit en vertu de la déformation même. Lorsqu'une poutre droite
fléchit sous Taction de forces normales , la déformatioD ne Ipl^P^ varier sensiblement les moments des forces ; la poutre quitte doni son état naturel pour marcher vers un nouvel état d'équilibre, qu'i atteint, parce qu'il est à peu près fixe, et qu'il ne se modifie mesure que la déformation 8*accu90. davantage. Ici, au contraire, là' déformation a pour conséquence l'augmentation des momenta fléchissants, et les moments d'élasticité ne s'accroissent pas assez vite pour les rejoindre.
£n résumé, les pièces chargées par leurs abouts sont dans des Fig. 134. conditieqs de résistance tt^-défeciueuses, dès qu*elles ^pnt { expbàeeilià une flexion latérale ^i^^ite d'uiïfi compression trop gi-ande: elles sont en danger de rupture. Nous ajouterons que cette conclusion suppose que la force F soit une force donnée^ constante: car si la force F était variable avec la corde OA, de maippre à diminuer quand OA diminue, Tanalyse pouqpit assigner rigoureusement la forme OMA • prise par la lame flexible, les produits ¥y ne s' accroissant plus alors indéfiniment avec y.
L'étude expérimentale des conditions d'équilibre des piètes chargées par leurs abouts a conduit à des formules empiriques trèsfréquemment employées par les constructeurs. Nous citerons plus loin les principales.
122. L'équation de la pièce fléchie est y = Bsin mx^ en faisant
Si la force F n'est pas constante, et «elle varie avec la corde OA de la pièce fléchie, on peut déterminer le coefiicient B, qui autrement resta inconnu.
La moindre valeur de la for^e F qui fasse fléchir la pièce est donnée par l'équation
où a est la distance OA de deux points fixes consécutifs.
Si F. est exprimée en fonction de a, on aura F = y(«), et la distance a s'obtiendra en résolvant l'équation
• a*o(a) = EIt;*;
= -• et îrne reste nlus
Fig. 125.
qu'à déterminer la constante B.
Nous y parviendrons en cherchant la longueur de la pièce déformée, i.
Chaque élément ds = /wm' de la fibre moyenne subit un raccourcissement dû à la compression produite par la force F. Menons la tangente mT, et soit 0 l'angle qu'elle fait avec l'axe OX. La force de compression due à F est ^ale à FcosO; elle produit sur l'arc m^ri un raccourcissement orf!s donné par l'équation
, . Eco8dj FcosO =-—3 — , ds
(0 désignant la section.
Donc
FcosO(2j Fdx
Eco Eco
Faisaitt la somme de tous ces raccourcissements, on aura la variation totale, tsj de la longueur de la pièce :
rx=« F , F El7:«a I k»
Jj:=o ~
Eco Efo Ecoa* o) a
La longueur S de l'arc OA de la sinusoïde dessinée par la fibre moyenne est donnée par l'intégrale
'WIX
1 H r- COS' — .
L*arc S est une fonction elliptique de seconde espèce, qu'on ne peut exprimer en termes finis ; mais ici, le coefficient cherché B étant très-petit, on peut se contenter d'une approximation; on développera le radical par la formule du binômoi et Ton en prendra les deux premiers termes :
a + -r— \ ces' — d — .
2a Jo a a
Faisant — = v, on transforme l'intégrale indiquée en
\ cos'r cZf = -' ; Jo *
donc Soit L la longueur primitive de la pièce. Nous avons calculé son
raccourcissement ; la difiérence donne la longueur nouvelle
d'où l'on tire
tua ka *
On peut observer que - est le rayon de giration de la section par
rapport à l'axe mené par le centre de gravîâf^jd&ns son plan, perpendiculairement au plan de flexion. ^ *
Les mêmes formules permettent de déterminer la force F qui correspond à une corde a donnée.
123. Si Ton voulait traiter la question avec plus d'exactitude, il faudrait intégrer l'équation rigoureuse
El— J^îL^=-Fy.
Faisons d'abord -^ = jo ; il vient
d'y dp ___ V^V cte* ~" dx "" dy '
et substituant, nous aurons
. EI^E^=-Fydy,
équation dont l'intégrale est, en appelant C une constante,
El— ^ = C-|Fy'.
On résoudrait par rappoili^^?, puis, remplaçant /? par -p, on
aurait à intégrer une nouvelle équation où les variables se séparent. * On obtiendrait ainsi l'équation de*îa courbe par une intégrale elliptique, qu'on pourrait calculer par les méthodes de quadrature. Le reste du problème s'achèverait comme nous l'avons indiqué. .
