PAR UN POIDS AGISSANT EN DEHORS DE SON AXE
11 faut prendre ce moment avec le signe +» car il tend à donner à la pièce une courbure pofidtive.
L'équation différentielle de la courbe OA' sera
C'est une équation linéaire du second ordre. On peut l'intégrer au moyen de la méthode de la variation des arbitres, en supprimant d'abord le terme constant V{b + f). Msds il est plus simple de changer de variable.
Posons
on en déduit
3?"'dx"' dy*
Donc
EIp(ip = P(6 + /— îf)(ïy.
Cette équation est in(^grable et donne
iEip» = P(6+y)y-|py';
1.0 fsdt /? = O) ce qui a lieu au point 0, puisque la courbe OA' tangente à Taxe OX. Il n'y a donc pas de constante à ajouter. Oq tire de cette équation
et par soite
Zd,= ^y ^
Intégrant de nouveau, il vient
y = o donneur = o, et par suite il n'y a wcune constante à ajouter.
L'équation de la fibre moyenne est ainsi
^=-('\/ii)-
Dans cette équation la flèche / est encore inconnue ; pour la déterminer, faisons x = a ; nous devons avoir y = /. Donc
et par suite A-''
CCS a
La flèche / est donc proportionnelle au bras de levier b du poids P.
La répartition des pressions dans les sections sera donnée par la formule
qjO^ >ifiDB ce cas particulier, prend la forme
RÉPARTITION fkft PBESSIONS ET DES TENSIONS DANS UNE GHARP
MÉTALLIQUE A LA POLONGEAU.
131 . Soit ABC le profil du comble. On suppose que les arbalétriers
^»«**'- AB, BG, sont égaux en lon-
gueur et également inclinés silr rhorizon; ils sont soutenus, en leurs milieux H et 6,
^^^^^^^^;;^]^ !lL— -- Illlrrr^^4, par deux contre-fiches EG,FH,
rattachées aux extrémités des w" arbalétriers par les tirants BE, EA, BF, FC. Un cinquième tirant, EF, complète la liaison en-
P0L0NCEAU.1
tre les points A et G, et a pour objet d'équilibrer la poussée latérale de la ferme, en empêchant cette poussée de s'exercer sur les murs M et N, qui portent les pieds des arbalétriers. Les réactions des murs sur la ferme sont donc verticales.
Les charges de la charpente sont réparties uniformément sur retendue du profil, à raison de p unités de pends par unité de longueur mesurée sur l'horizontale AC.
Du point B abaissons la verticale BI, qui divise AG en deux parties égales au point 1 ; soit AI = a, la demi-portée de la ferme,
IB = *, la flèche.
Appelons a l'angle BAI, et / la longueur de l'arbalétrier, qui est
égale à ou à i/a*4-6*.
^^ COStt ^ '
Coupons la ferme par le plan 61, perpendiculaire au plan de la figure , et considérons l'équilibre d'une moitié seulement du comble, ce qui suffit, à cause de la symétrie du comble et des charges.
En supprimant la p^tie située à droite du plan Bl, nous devons introduire la réaction de cette partie contre la partie conservée; cette réaction est horizontale à cause de là symétrie. Nous la représenterons par X. Nous devrons aussi introduire la tension du tirant EF que nous coupons au point K; et comme toutes les forces extérieures l^liquées à la demi -ferme, sauf la réaction X et la tension du tirant 0t sont verticales, l'équilibre des composantes horizontales exige tpiè cette tension soit égale à X.
La réaction du mur M est verticale et égale H^o.
Fig. 128.
\ak«»0»-a
^38 Cil \H PENTE
Noos avons donc à chercher les conditions de l'équilibre du système ABE, sous l'action des forces X, — X, pa^ et enfin des poids uniformément répartis de A en B.
Ces poids se composent en un seul égal à pa^ et appliqué au milieu G de l'arbalétrier; l'équilibre des forces extérieures est exprimé par l'égalité des couples:
paxAL=Xx BK.
AL est égal à - a ; BK est une donnée de la construction du comble ;
nous la représenterons par la différence b — b\ en appelant b' la quantité IK dont le tirant £F est relevé au-dessus de l'horizontale AG.
Donc
et
|pa« = X(6-6'),
Y — 1 Pg*
Les forces extérieures sont toutes connues ; cherchons les conditions de l'équilibre élastique. Pour traiter cette question, il est nécessaire de faire une hypothèse sur le règlement des tensions des pièces AE, EB. Nous supposerons qu'elles sont déterminées par la condition que le poiort G soit maintenu par la jambe de force £G sur la ligne droite qui joint les points A et B. L'arbalétrier pourra alors être considéré, eu égard aux forces qui le pressent norujJilement, cogime une pièce droite posée sur trois appuis de niveau \ l'équilibre élastique d'une telle pièce est un problème que nous savons résoudre (§ 94) .
Le poids par unité de longueur réparti sur l'arbalétrier n'est pas égal kp; c'est un poids/?' tel,que produit/?'/ soit égal au produit/?a; donc
p' = p j = p CCS a.
POLONCEAU. 239
Ce poids se décompose en deux forces; l'une normale à l'arbalétrier et égale à p cos* a ; l'autre longitudinale et égale à pcosasina.
Considérons d'abord l'arbalétrier pris isolément. Appelons T,, T, les tensions des tirants AE, EB, et soit G la compression de la contre-fiche 6E, qui s'exerce normalement à l'arbalétrier au point G. L'arbalétrier est soumis aux forces suivantes :
la force X et la force T,, appliquées au point B ;
la force normale G, appliquée au point G ;
les forces j9a et T^, appliquées au point A;
la composante normale p cos' a , du poids également réparti par unité de longueur, qui produit en tout une charge normale égale àj9/cos*a,
et la composante parallèle à l'arbalétrier, /? cos a sin a.
Faisons abstraction des composantes parallèles à la pièce ; nous sommes ramenés au cas d'une pièce chargée uniformément d'un poids jocos'a, et posée sur trois appuis ; les réactions normales des appuis, Yj, Y,, Y„ sont donc
au point A , Y| = tt p/ cos* a,
au point G , ^« ~ Î6 ^' ^^®' *'
au point B, ^« ~ Ta P' ^®*' *•
!^' Hab au point A la fflrce normale Y^ qui agit sur l'arbalétrier est I égale à la composante normale de la résultante des forces pa^i et T^; de même en B, la force normale Y, appliquée à l'arbalétrier est égale à la composante normale de la résultante des forces X et T,. Enfin en G, la force normale Y, est égale à la compression G développée dans la contre-fiche. Appelons ^ l'angle EAG, qui est donné par l'épure de l'élévation du comble. Nous retrouvons cet angle en EBG, et par suite nous ayons les trcûs équations :
Y| = Tg p/ cos* a = pa cos a — T, sin p = ~ pacos a,
Y, = — p/ cos' a = C = ^pa cos a,
Yj = — p/ cos' a = X sin a — T, sin 3 = 7g po cos «.
Ces équations donnent, la première T^ la seconde G, la troisième T,, puisque X a été précédemment déterminé:
lA Xsîna — T^pacosft
-, 13 cos a n ^^ T ^^
* 16 '^ sm p' 16^ ' smp
132. Nous connaissons les efforts développés dans toutes les pièces Fig. 129. qui aboutissent au point E. Ces efforts
y^T. doivent se faire équilibrer autour de ce
point. On doit donc avoir deux identités eV X en projetant toutes ces forces sur la di-
c^ rection de EG, et sur une direction per-
pendiculaire ; ces opérations donnent en effet
(T, + T,) sin p — X sin a — C = 0, (T, — Ti)cosP + Xcosa = 0.
Substituons à G, ^!^ et Tj leurs valeurs dans la première équittion ; il vient
pa cos a — Yj -f X sin a — Y, ^ X sin « — Y, = pacosa — (Yj 4-Y, 4-Y,^^pacosa — pacosa=0,
ce qui vérifie la première condition.
Puis on déduit des valeurs de T, et T,
(T, — Tj) sin p = Xsin a — pa cos a.
Donc
/T T \ o Xsin a cos p cos a cos 0 ,-- . »cosô
T, — T,) cosp = r— T — ~^pa — ■ Q • == Xsm a— pacos a) -?— J,
* ' *' "^ sm p '^ nn p ^ ^ ' sm p
POLONCEAU
L*équation à vérifier se réduit donc à
(X sm a — pa COS a} -r— ^ + X COS a = 0,
Ipa* ou, en remplaçant X par sa valeur 7 r;,
sin a -, — ^ + COS
sin p
