BK = BI — IK
Par le point G, milieu de Tarba- N létrier, menons GN parallèle à AI ; nous aurons
BGN = a,
et
BN = GN tanga = gtanga.
Il reste donc à montrer que NK est égal à
|tangp.
NK est la projection sur BI de la droite GE, laquelle est égale à
Donc
AGtangp.
NK = AGtangp x cosa = AG cos a x tangp et l'égalité est ainsi entièrement vérifiée.
ftangp,
La compression de l'arbalétrier est due aux composantes longitudinales des forces. Au point A, elle est égale à la force pa sin a -f T^ cos p ; au point B elle est égale à la force X cos a + T, cos p. La différence entre ces deux forces est égale à la somme pi cos a sin a^ ou pa sin a, des composantes de la charge parallèles à l'arbalétrier. On doit donc avoir
pa sin a + T| cos p = pa sin a + X cos a + T, cos p,
ou bien
(Tj — T,) cosp=Xcosa,
équation déjà vérifiée.
133. Cherchons à construire les courbes qui représentent les valeurs de la compression, des moments fléchissants et des efforts tranchants aux différents points de l'arbalétrier.
Du point A au point 6, la valeur du moment fléchissant est donnée par l'équation
M = YjX — 5 p COS'ax* = — p/cos'ax— - pcos'ax»,
les abscisses x étant mesurées sur la droite AG à partir du point A dans
le sens AB.
Si l'on fait
il vient
M==— ^p^COS^a:
Prenons sur GE, au-dessous de AB, une longueur
GM = ^pa«;
la parabole des moments passera par le point M. Elle passe d'ailleurs par le point A ; on pourra donc tracer cette courbe APM, puisqu'on en connaît deux points , qu'elle a un paramètre connu et qu'enfin son axe est normal à AG.
POLONCEâU. 243
Elle se répétera symétriquement en MQB dans la seconde moitié de l'arbalétrier*
L'effort tranchant sera égal à Y^ au point A, et à — Y, au point B; il a deux valeurs au point G, et la différence de ces deux valeurs est égale à Y,; en résumé, il est représenté par les ordonnées de la double droite, Y,HR, STD, qui coupe Taxe AB aux points H et T, projections dès points P et Q où la courbe des moments a sa tangente parallèle à AB.
La compression au point A est /^â^sina-j-T^cos^; en un point quelconque, dont la distance au point A est x^ elle sera donnée par la formule
« . .' 13 cosacosg
P=pasm a+ rrpa : — r— ^— P2:8macosa,
'^ 16' sinp ^
équation qui représente une ligne droite NV.
La charge la plus grande de la matière sera ensuite calculée par la formule
qu'on peut construire, comme nous l'avons déjà fait (§ 117), au moyen de deux arcs paraboliques, l'un correspondant à la face supérieure. Vautre à la face inférieure de Tarbalétrier.
Il est à remarquer que la plus grande valeur du moment fléchissant a lieu au point G, appui central de Tarbalétrier, et qu'elle est
égale en ce point à ^ p^f*, quantité qui dépend de la portée horizontale de la ferme et du poids également réparti suivant l'horizontale, mais qui ne dépend pas de Tangle a. Au contraire, la plus grande compression dans Tarbalétrier a lieu au point A, et elle a pour valeur
/ . . 13 CCS a CO8 p\
elle dépend donc de l'angle a,ou de l'inclinaison du comble. Les dimensions de Tarbalétrier peuvent être calculées d'après le
maximum du moment fléchissant, 5- J»a*f ou d'après le maximum de la compression, qui est
(. 13 CCS a C08p\ sm a + -- — ; — = — 1 .
16 smp /
Cette dernière expression seule est fonction de l'angle <x. Supposons, pour plus de simplicité, que ^ = a, ce qui n'est jamais bien loin de la vérité. Pour choisir l'angle a qm convijBnt à l'arbalétrier le plus léger, on observera que la section de cette pièce doit
être proportionnelle à [sina-f — colgacosaKet que sa longueur est égale à ; le volume est donc proportionnel au produit
cos a
CCS
ou à
( Sin a + -- COtg a COSa )
IS a \ '16 ° y
tg a + |g COtg a.
On aura par suite à égaler à zéro la dérivée de cette fonction par rapport à a, ce qui donnera
cos* a 16 sin* a
équation d'où l'on pourra tirer la valeur de tga = i-— .
En général, on n'a pas à résoudre ce dernier problème, car les inclinaisons des toits ne sont pas entièrement arbitraires : les habitudes locales et le caractère de Tarchitecture ne permettent pas de s'écarter notablement de certains angles consacrés.
Solution géométrique du même problème.
134. Les forces extérieures appliquées à la demi-ferme sont : La poussée au sommet, BX; la tension du lien EK; le poids pa de la demi-ferme, appliqué dans la verticale du milieu G de l'arba-
POLONCEAU
létrier, enfin la réaction verticale du mur sur lequel s'appuie la demi-ferme en A. On connaît une de ces forces, le poids pa\ les
Fig. 132.
autres ne sont connues qu'en direction. Les forces pa et BX prolongées se coupent en 0 ; la force E et la réaction du mur en A se coupent en (y. L'équilibre exige que les résultantes de ces deux groupes soient égales *et directement contraires. Donc elles sont situées toutes deux dans la direction 0(y. Connaissant Tune, OP =/>«, de ces forces, il suffira d'achever les rectangles PRSO, RT'0'S\ en prenant O'R' = OR , pour avoir la poussée à la clef X = OS, égale à la tension du lien EK , et la réaction du mur en A , O'F = OP = pa. Il reste à déterminer les tensions T^ et T,, puis la compression C. Pour cela, on s'appuiera sur le résultat obtenu au § 94 *, la charge normale subie par l'arbalétrier est égale à pa cos a; elle se partage de la manière suivante entre les trois appuis A, G, B :
^ au point A, — au point C, et — au point D.
Si l'on projette sur une normale à l'arbalétrier la force /?a = 0'P
g et la force Tj , la diflérence des projections est égale à -g /?« cos a ;
donc la projection de T^ est égale aux -^ de pa cos a. 11 suflit donc
de prendre sur la normale AH une longueur AH = -^ OX = -^ /?a cos a ,
et d'élever une perpendiculaire HL jusqu'à la rencontre du ten-
deur AE; AL sera la tension T,. On trouvera par la même méthode la
tension T,. Quant à la compression G, elle est égale aux — de pa cos a.
Comme vérification, les quatre forces T^, T,, G et X se font équilibre autour du point E.
Enfin la compression de l'arbalétrier au point A est la somme des projections sur sa direction des forces T^ et pa =0'F; au point B, ce sera la somme des projections de X et de !,•
La même méthode peut s'appliquer à une ferme à trois contrefiches, pourvu qu'on connaisse d'avance la répartition de la charge normale sur les cinq appuis de l'arbalétrier.
