RECHERCHE DU POIDS PROPRE DE LA FERME

135. Le poids p contient deux parties ; l'une/) correspond au poids propre de l'ossature de la ferme, et l'autre /?", au poids de la surcharge qu'elle est appelée à supporter. Posons donc p=p +/>"» et proposons-nous de déterminer p' en fonction de /?", de telle sorte que le point le plus chargé de l'arbalétrier supporte une charge déterminée R.

Le poids propre de la ferme est à peu de chose près proportionnel au poids de l'arbalétrier; nous admettrons donc, à titre d'approximation, que le poids p' peut être calculé en multipliant le volume de l'arbalétrier par un nombre donné, supérieur au poids spécifique delà matière dont l'arbalétrier est composé; l'excès de ce nombre sur le poids spécifique étant destiné à tenir compte du poids des pièces accessoires que l'on néglige. Désignant par ^ruf le poids spécifique ainsi grossi, et par û la section droite de l'arbalétrier, on

aura pour valeur approximative du poids p' ; donc

Q gp' p' cos g

La charge par unité de surface au point le plus fatigué de Tarba-

létrier se déterminera en appliquant la formule

Or la plus grande valeur de P est égale à

^ / . . 13 cosa cos3\

ou à />aX[x, \L étant un facteur numérique qui dépend des angles a et ^, et qu'on peut calculer quand on a fait l'épure de la ferme.

Le maximum de M est ^ pa*.

Pour déterminer y, imaginons qu'on ait construit, à une échelle

Fip. 133. ai-bitraire , une section bcdefghkUK ^ f édl éb\

^ \ semblable à celle* que l'on veut donner à l'arba-

c^— gp) c jr~'c létrier. Ayant déterminé le centre de gravité G

•tTÎ

de cette section, sa surface Û', son moment d'i- L nertie I' par rapport à l'horizontale XX menée

\ par son centre de gravité, et enfin la distance

■ GH = t;', de la fibre la plus éloignée à la fibre

moyenne, nous savons, par le principe de la similitude, que pour passer de cette* section auxiliaire à la section réelle, qui lui est semblable, il suffit de multiplier respectivement

par

Donc

OU bien

û' Vu'

* ï' 008 a v^cosa X p' yjp'

Substituons dans l'équation (i) les valeurs de 12 et de j; remplaçons-y

en même temps la lettre R par la limite donnée de résistance ; nous aurons en définitive l'équation

"" p' COS a 32 ^ 1' ^ COS a VcÔTâ X j>' sjp'

ou bien, en mettant pour p sa valeur ;>' +p\

ces a

\ pv 321' ces s v^cos a \v^' pVp''

équation où tout est connu, excepté p'. Elle est du troisième degré en —=, et peut être résolue par tâtonnements. Une fois p' déterminé,

on en déduit Û, et, par suite, le rapport de similitude de la section cherchée à la section auxiliaire.'

FLEXION d'une LAME ÉLASTIQUE.

136. Lorsque la pièce soumise à l'action d'une force a une trèsfaible raideur, comme cela arrive pour les ^^^' * *' ressorts et les lames minces, la courbure

'' prise par la pièce est très-grande, et il

n'est plus permis de négliger le terme

- * devant Tunité.

^•i "^ B X Voici alors comment on peut diriger

l'intégration.

1° Soit OA une lame élastique, homogène et de section constante, encastrée au point 0 tangentiellement à la droite OX ; nous supposerons d'abord cette lame sollicitée à son extrémité A par une force unique AP, perpendiculaire à la direction OX de l'encastrement.

Soient OB=a:', BA=i/' les coordonnées du point A après la déformation; ON =j:, NM=y les coordonnées d'un point quelconque M.

L'équatioD du problème est

Ei ^ rfx«

5 = PxXB= ?x{x'-x].

Posons ^1 =p, d'où Ton déduit i^ = ^. II vient, en multipliant par dxj

El ^P ^=Pix'^x)dx,

équation oii les variables p et x sont séparées. Intégrons ; nous aurons

El P

v/i+jf>'

sans ajouter de constante, car ^ = o doit donner /? = o, à cause de l'encastrement au point 0.

Élevant au carré et résolvant Téquation par rapport à /?*, puis extrayant la racine, il vient

^ = IÏ

et par suite, remplaçant p par -^, on a pour la valeur de l'ordonnée y en fonction de l'abscisse x.

dx

La fonction sous le radical carré étant du quatrième degré, la solution dépend des fonctions elliptiques.

L'abscisse x' n'est pas connue d'avance, et la détermination de

cette constante, qui figure sous le signe \, est la principale difficulté

de la question. Si l'on prend a! pour limite supérieure de l'intégration, la valeur correspondante de y est la flèche %/ prise par la lame. Pour achever le problème, on pourra exprimer, par exemple, que la longueur de la lame fléchie est égale à la longueur primitive / de cette lame, ce qui est sensiblement vrai si la force P n'est pas trop grande. Alors on a une seconde équation ,

qui permet de trouver a!. Mais la présence de cette inconnue sous le signe \ ne permet guère de traiter la question autrement que par

tâtonnements.

y** Supposons en second lieu que la force appliquée au point A ait une direction quelconque; on pourra la décomposer en deux forces parallèles aux axes OX, OY.

Soient P et Q ces deux composantes. L'équation de la lame fléchie sera alors

El

[' * mi

Fig. 135.

équation plus compliquée que la précédente, à cause de la présence

dans le second membre des deux coordonnées x et y.

Voici comment Poisson procède à l'intégration :

Posons P [x — x) — Q: y' — y) ) = m, u étant une variable auxiliaire.

On en déduit en diflérentiant

(iM=: — Pdx + Qdy.

Donc rfy = -TT- + 7v rfvC.

Nous prendrons toujours x pour variable indépendante, et nous regarderons en conséquence dx comme constant. Différentiant une seconde fois, il viendra

et substituant dans l'équation différentielle, elle deviendra

El dx*

ftil

équation d'où Ton peut chasser dx en posant -j- = y. On a alors -^ = ^, et l'équation devient

dq El dx

Multiplions ce premier membre par qdx, le second par du qui lui est égal ; il vient

El qdq

^ ' = udu ,

équation intégrable par quadrature, qui fait connaître q en fonction de u. On aura ensuite x en fonction de u par l'équation

X = \ — ; enfin y est connu en fonction de u et x^ en supposant

toutefois que x' et y' soient préalablement déterminés.

3** *En troisième lieu, examinons le cas où la lame élastique est fléchie par un couple P, F.

Dans ce cas, la fibre neutre dessine un arc de cercle commen-

Fig. J36.

çant au point 0 et finissant au point A, premier point d'application des forces du couple (S 80, 2°). Le rayon p de ce cercle est donné par l'équation

M étant le moment constant du couple (P, P'). En faisant varier l'intensité du couple, on fait varier le rayon p du cercle; la longueur OA ne change pas, car les deux forces P, P', égales, parallèles et contraires, ont une projection nulle sur tout élément de la fibre neutre. Cherchons le lieu du point A.

• Ce sera le lieu de l'extrémité des arcs de cercle de longueur a constante, tangents au point 0 à une droite OX donnée. Du point 0 comme centre, avec OB = a pour rayon, décrivons

un cercle BBC.

Considérons sur ce cercle des arcs BB' commençant au point B; soit A le centre de gravité de l'un de ces arcs. Le lieu BAGO des points A sera la courbe cherchée'.

^ «. ^» sîn8

On a en effet OA = a — r— , en appelant 8 la moitié lOB de l'angle B'OB correspondant à Tare BB' considéré. Soit OA = ;•.

Au milieu K de la distance OA élevons une perpendiculaire KC; le point 0', où elle coupe la droite OY perpendiculaire à OB, est le centre d'un cercle passant par les points 0 et A, et tangent en 0 à la droite OB.

Je dis que l'arc OA est égal à OB.

En effet, on a

Fig. 137.

OR

OR

ces O'OR ~ sin lOB 2 sine'