Î76 TORSION DES CYLINDRES

opère sur un cylindre dont la longueur totale soit égale à L, et dont le rayon soit r, et qu'on appelled l'angle total dont la torsion déplace la section transversale à Textréofiitê libre de cecylindre par rapport à l'autre extrémité, laquelle reste fixe par hypothèse, qu'enfin Vp soit le moment du couple appliqué dans le plan de la section mobile, on aura Téquation

A désignant un coefficient constant, qui dépend seulement de la matière dont se compose le cylindre considéré.

Au rapport y on peut substituer l'angle 8, qui mesure la déviation rapportée à l'unité de longueur, ainsi que nous Yavons définie dans l'énoncé de la loi de Coulomb.

Si le cylindre était creux, et que r' fût le rayon du vide intérieur, on aurait l'équation

Ces lois ont servi à Coulomb à l'étude de divers problèmes de physique : sa balance de torsion est l'instrument le plus commode pour la recherche des lois des attractions magnétiques ou électriques. Il s'en est servi aussi pour évaluer les actions mutuelles des fluides et des solides dans le mouvement relatif.

On suppose d'ailleurs que le rapport y-, ou que l'arc 9, soit très-petit;

au delà d'un certaine limite, la proportionnalité de 0 au couple Vp n'est plus en effet vérifiée par l'expérience.

1A8. Voici comment on peut justifier par un raisonnement de statique les lois que Coulomb a déduites de lobservation directe.

LOIS DE COULOHB. S;;

Coupons le cylindre MN par un plau AB perpendiculaire à la direction de 363 arâies, et éloigné de son extrémité libre — ■ N d'une quantité X quelconque. La portion de cylindre ABN est en équilibre sous l'action du couple eitérieur Pp agissant dans le plan N, et des forces moléculaires développées dans le plan sécant AB. 'Y~ Ces dernières forces sont réductibles à un couple da {1 même moment que Pp,mais dirigé en sens contraire. j La déviation angulaire totale de ta section N par rapport à !a secUon AB étant représentée par ©, la déviation par unité de longueur du cylindre est mesurée par le rapport ^ = 0-

Appelons p et u les coordonnées polaires d'un point C quelconque de la section AB, rapportées au centre 0 de cette secUon, et à un axe OX arbitraire. Prenons au point C un élément de surface, dont l'aire sera mesurée par ^dutd^ ; nous admettrons que cet élément développe, perpendiculairement au rayon OC, une résistance proportionnelle à l'aire ^wda de l'élément, proportionnelle k l'angle 0 de déviation par unité de longueur, et enfin proportionnelle à la distance p. Le produit de ces derniers facteurs, pet 6, mesure en effet le déplacement relatif que subit dans la torùon l'élément considéré par rapport à l'élément correspondant pris dans la section voisine ; et la direction de k force, perpendiculaire à OG, a la direction même de ce déplacement relatif. Appelons donc G une nouvelle constante spécifique. La réûstance totale de l'élément à la torsion sera exprimée par leproduit

GOp X pdudp = GOfMuiiip,

et son moment par rapport à l'axe projeté en 0 sera

GBpMudp.

Prenons la somme de tons ces moments, en l'étendant à toute la section, que nous supposons limitée extérieurement à un cercle de rayon r, et intérieurement à un cercle de rayon r' ; nous devrons trouver un moment égal au couple Vp. Nous aurons ûnsi l'équation