TORSION DES CYLINDRES
GO STdbi V p^dp=z?p^
OU bien
ou enfin
2nG8 ^ /"* = 5 GO (r*—r'*) = Pp,
La constante A est liée à la nouvelle constante G par la relation
qui permet de passer de Tune à l'autre.
La résistance à la torsion par unité de surface est représentée par GOp, et par suite, à une distance du point 0 égale à Tunité, elle est égale à G8.
Les forces moléculaires, dans cet exemple, se font équilibre en projection sur un axe quelconque et se réduisent par suite à un couple ; car deux éléments symétriquement placés par rapport au point 0 développent, d'après nos hypothèses, des forces égales, parallèles et de sens contraires.
1A9. La constante G a été déterminée par expérience (i).
En prenant pour unité de force le kilogramme, et pour unité de surface le mètre carré, on a trouvé pour G les valeurs suivantes :
Acier fondu. . . . 10 000 000 000
Acier 6 000 000 000
^ (de 6000 000 000
Cui\Te 4366 000 000
Fonte 2200 000 000
Bronze 1066000 000
Sapin 433 000 000
Chêne 400 000 000
On a pu de même déterminer par Tobservation la limite d'élasti-
(1) Il est facile de Tolr que l'homogenéitc de la formule
8^2 Pp
ou de la formule plus générale qu*on établira plus loin
e IPp
exige que la constante G représente une force rapportée à l'unité de surface.
TORSION DES PRISMES
cité des corps à la torsion. Pour le fer forgé, on Ta trouvée égale à 14,000,000 de kilogrammes par mètre carré.
150. Nous venons de voir qu'en un point éloigné du centre 0 d'une quantité égale à c, l'effort développé dans la matière par unité de surface est égal à GOp ; il est maximum pour le maximum de p, c'està-dire pour p = r, et si l'on suppose que le cylindre soit plein, on aura par conséquent
Cette quantité doit rester au-dessous de la limite d'élasticité ; d'où résulte cette règle pratique : les arbres cylindriques pleins^ soumis à des efforts de torsion^ doivent recevoir des diamètres proportion-nelsj pour une mênie matière^ à la racine cubique du moment du couple de torsion.
Les formules que l'on trouve dans les aide -mémoire pour le calcul des dimensions des arbres tournants, des tourillons, et des autres pièces de machines qui doivent résister à la torsion, dérivent de l'équation précédente. On se sert habituellement de l'équation
dans laquelle T exprime en kilogrammètres le travail transmis par minute à l'arbre tournant, n le nombre de tours que fait l'arbre en une minute, K un coefficient empirique qui varie avec la destination de l'arbre et la matière dont il est formé, et d le diamètre de l'arbre,
T en centimètres. Il est facile de reconnaître que - est proportionnel
au couple appliqué à l'arbre.
151. On a cherché à étendre aux prismes quelconques les lois de la torsion des cylindres.
Soit AB la section du prisùie, supposée la même eil tous les points
de sa longueur. Par le centre de gravité 0 menons deux axes rectangulaires OX , OY. Puis considérons au point G un élément de surface compris entre deux rayons vecteurs menés sous les angles u) et co 4- «ico, et deui circonférences tracées autour du point 0,
