DES PRISMES

Fif. 158.

et Ton devra faire p égal à son maximum pour avoir le plus grand effort développé dans la matière.

Par exemple, prenons pour section droite du prisme un carré de

côté c = AB.

Pour avoir le moment d'inertie par rapport à Taxe projeté en 0, on peut prendre les moments d'inertie par rapport aux axes OX, OY» puis faire la somme ; on aura donc

et la plus grande valeur de p sera égale &

JV

le

OA=^cv^;

- a donc pour valeur limite

"Jo-vS,

et la charge par QXiité de surface aux points les plus fatigués est égale à

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152. Cette théorie suppose que, dans un prisme de forme quelconque, la torsion dévie de quantités angulaires égales àtous les rayons vecteurs menés dans chat]ue section par le centre de gravité, et sans •les faire sortir de leur plan. Si la section est très-voisine du cercle, cette hypothèse est encore admissible; mais elle ne l'est plus du tout si la section a des rayons vecteurs de dimensions très-différentes ; il serait tout à fait faux, par exemple, d'appliquer la formule générale

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TORSION DES PRISMES

à une section rectangulaire longue et mince. L'expérience est d'ac^ cord avec la théorie générale de l'élasticité pour montrer combien est grossière dans ces cas généraux la théorie élémentaire de la torsion des pnsmes. De savants calculs, dus à M. Barré de Saint- Venant, ont commencé à combler cette lacune, en tenant compte du gauchissement des sections planes (i). Mais ce sujet est étranger au plan de notre cours.

Remarquons d'ailleurs que, lorsqu'une pièce est destinée à subir des efforts de torsion, on est instinctivement conduit à lui donner une formé voisine de la forme circulaire, et qu'alors la théorîfSéft^ mentaire de la torsion fait connaître les limites de sa déformatidD* avec une suffisante exactitude.

Les lacunes de la théorie ont donc plus d'importance au point de vue scientifique qu'au point de vue des applications.

153. La torsion est la dernière déformation élémentaire que nous ayons à étudier, et nous pouvons résumer comme il suit l'ensemble des opérations à faire pour trouver la répartition principale des efforts dans un solide soumis à des forces quelconques, et les déformations élémentaires que ce corps a à subir.

Soit ABGD une pièce prismatique en équilibre. Coupons-la par im

plan transversal AB, et soit A'B' la section de la pièce par ce plan rabattue sur le papier. Prenons trois axes de coordonnées rectangulaires, l'un OZ, mené par le centre de gravité 0 de la section perpendiculairement à son plan, les autres O'X, CKY, menés par le centre de gravité dans le plan de la section, suivant la direction des axes principaux de l'ellipse d'inertie. Les forces extérieures appliquées à la portion du corps située au-dessus du plan AB, sont tenues en équilibre par les forces moléculaires développées dans ce plan AB. Nous pouvons réduire les forces exté-

Fig. 159.

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(1) De la torsion des prismes, t. XIV des Mémoires des Savants étrangers. — Navier, Résumé des leçons de l'Ecole des ponts et chaussées ^ 3* édition, 1. 1 ; art. V. Notes,