AC
cb""ï;'
Pour avoir l'ordonnée GD:=z du point D, on appliquera le théorème des moments, en prenant les moments des masses a, ^ et oL+p, situées respectivement en M, N et D, par rapport au plan projeté en AB. On aura donc
et comme
a en résulte
z = —--r, quantité constante.
Donc le point D est fixe, et la droite MiN pivote autour de ce point. Remarque. Si Ton prend sur la droite AX, à partir du point A, une quantité AM' = AM x 0 , 0 étant un nombre constant, donné ou pris arbitrairement, et qu'on appelle x' la nouvelle ordonnée AM', on aura, entre les segments AM' = x' et BN = y, une relation linéaire
qu'on déduit de la relation (i) en y remplaçant x par -r-, ce qui donne
îx' + Py = Y, (a)
équation de même forme que l'équation (i), et qui ne diffère de celle-ci que par l'altération d'un ties coefficients donnés. Donc, en vertu du lemme, la droite M'N pivote autour d'un certain point fixe
AC \l
i , défini par le rapport t^ = -^, et par la distance G'J =
Or ce point J est le centre de gravité du système formé par une masse ^ placée, en M', et une masse p placée en N. Pour passer du
DES MOMENTS SUR LES APPUIS. 3flf9
point J ainsi défini au point D, pivot de la droite MN, remarquons qu'à la masse a, placée en M , on peut .substituer, sans altérer les
centres de gravité, une masse -r placée en M', et une masse ^ ~
placée en A; caria somme de ces masses équivaut à a, et le rap-
^. A . MM' . , . (9 — i)AM .
port des segments -gj- est égal à ^ — ^ — = 0 — i , rapport m-
verse des masses adjacentes. Connaissant le centre de gravité J des masses en M' et N, on aura le centre de gravité D des masses .M et N
en composant la masse r+ P, placée en J, avec la masse ^ ^ -^
placée en A. Donc les trois points A, D, J sont en ligne droite.
AT â
Remarque 2. Le rapport -^ est égal à -, c'est-à-dire égal, au
signe près, à la limite vers laquelle tend le rapport - lorsque a: et ^
grandissent indéfiniment. Pour trouver la position de la parallèle CD sur laquelle se trouve le pivot de la droite MN , il suffit donc de supposer X ti y infinis dans Téquation (1), et de chercher la ilimite de leur rapport. On aura en efiet -^
** Ni
lîni. - = - ^,
relation qu'il est aisé d'interpréter sur la figure.
166. Première méthode de M. Fouret. — De ces considérations^ M. Fouret a déduit une méthode graphique pour résoudre un système quelconque d'équations linéaires (1). Cette méthode se simplifie quand il s'agit du système des équations M. Comme on commence dans la méthode par attribuer une valeur arbitraire à M,, les équations (M) ne seront satisfaites qu'à la condition de compléter la dernière par une inconnue de plus, M^^.!, qui doit être nulle pour que l'on ait les valeurs exactes cherchées. Nous considérerons donc d'abord
(1) Association française pour f avancement des sciences^ congrès de Nantes, 18TS*
le système
2(/i + /5)M, + /jM, = — P, /,M, + 2(/, + /alMs + ^sM* = - Pj
/n-|Mn— i + 2(/»— j + /n) Mn + /»Mn+i = -" P«i
et Ton voit clairement que ce système, dans lequel les M sont des variables, impose des relations linéaires de la forme
à deux moments consécutifs quelconques. Les coefficients a et ^ ne
dépendent que des rapports des travées, et la distribution des charges
influe seulement sur le terme tout connu y. Donc si l'on construit
sur l'épure les moments fléchissants de la poutre sur ses appuis, en
partant d'une valeur quelconque attribuée à M,, chaque droite
M^M^t^.! pivote autour d'im point fixe Dj^, dont la position est donnée
w AG M
dans la travée n** ft par le rapport -r^ = lim. ^j^, laquelle limite
est facile à déduire du groupe M' en y supposant tous les M infinis; cerapipBRne dépend que des longueurs des travées /j, /,, ... /,. AyanI onstruit dans chaque travée la verticale qui contient le pivot, on dél|^pv&era la position du pivot sur cette verticale en construisant le polygone
0 M2M3 ... MnM„4.j,
en partant d'une valeur arbitraire pour M,. Puis, les pivots une fois* déterminés, on construira le vrai polygone des moments en partant d'une valeur nulle attribuée à M^^., , et en faisant passer par les pivots successifs les divers côtés de ce nouveau polygone.
167. Seconde méthode. — La seconde méthode de M. Fouret est un perfectionnement de la méthode géométrique exposée tout à l'heure (§ 164). Elle consiste à observer que, quand on fait varier M^^, le groupe (M) étant toujours complété par l'adoption d'une variable nouvelle M^t+j, et devenant ainsi le groupe (M') , les droites a% ^ des fig. i65, 166, 167, pivotent dans chaque travée autour de points fixes.
