FLÉCHISSANT SUR UN APPUI QUELCONQUE

On voit par ce tableau qu'à chaque appui, correspondent un coef* fident (a) et un coefficient (y) , et que la somme des indices de ces deux coefficients est constante et égale an — s.

Revenons aux équations (M).

Le moment inconnu. M», se trouve dans la (A — a)"* équation de ce groupe avec le coefficient 4 „ dans la (A — i)""* avec le coefficient 2 (4 - 1 + 4)» ®^ dans la A"' avec le coefficient 4. Multiplions la première des équations M par a„;t, la seconde par a„fc y^, la troisième par *„-* y, .... jusqu'à la (A — i)"-* que nous multiplierons par oL^^k Y*-«î P^^ continuons, en multipliant la A"* par

fl^l fc-.l yik-i; la (A + 1)"* par cf^^it-% y*-ïi ®^ ^^^^^ d® ^^^^^ jusqu'à la (n — i)"* et dernière, qui sera multipliée par y*. 2; faisons la somme des équations ainsi préparées, et tous les moments inconnus disparaîtront, sauf M»; nous trouverons comme résultat final :

Le dénominateur du second membre peut se simplifier, en observant que l'on a entre les trois coefficients consécutifs

T»-it T*-î> ï*-«»

la relation

MolUpliant par 0^4, il vient

et,par suite,le dénominateur M» se transforme en

ou, avec la suppression du signe — devant le second nombre,

C'est le produit de ta longueur 4 de la A"* travée, par la différence

3i6 DÉTERMINATION D'UN MOMENT QUELCONQUE.

des produits en croix des coefficients (a) et (y) qui correspondent aux appuis sur lesquels porte cette travée. Le dénominateur de la valeur de M» est ainsi relatif à Tune des deux travées qui aboutissent à Tappui auquel s'applique le moment Vl^ ; le numérateur, au contraire, ne contient que des termes relatifs aux divers appuis. De cette simple remarque il est permis de conclure que le dénominateur pourrait aussi bien se représenter par le produit

formé au moyen de la longueur i^^ de la travée précédente et des coefficients (a) et (y) pris dans cette travée, que par le produit

auquel nous sommes parvenu ; et de là résulte ce théorème : Le produit de la longueur dune travée par la différence des praduiU en croix des coefficients (a) et (y) qui correspondent aux cqnpms comprenant cette travée^ est constant dans toute t étendue de la poutre.

On démontre directement cette proposition en se reportant aux équations

qui établissent la relation entre y».,» y^,,, y».!, d'une part, et entre

«H-Hi' *^»» *»-»-« » d® l'autre.

Si l'on multiplie la première de ces équations par a^^^^ la seconde

par yfc, , et qu'on retranche, il vient

Appelons L ce produit constant; pris dans la première travée, il est égal à /^ a^^ ; dans la dernière , à /.y^.j. On a en définitiTe Ua formule générale

«*-* yi P.T*-« + Y*-t "S f***^'

U = =2 , =ii!

PROPRIÉTÉS DES NOMBRES (a) ET (7)., 317

Le dénominateur commun L a le signe a^, ; il est positif si le nombre n des travées est impair, et négatif dans le cas contraire.

PBOPRIÉTÉS DES NOMBRES (a) ET (y).

Propriétés générales.

170. Les nombres (a) et (y) ont quelques propriétés intéressantes que nous allons indiquer. On vient de reconnaître que le produit de la longueur / d'une travée par le déterminant^ ol'^ — a'y,

(a a' ] des coefficients | , | qui correspondent à ses appuis, est

une quantité constante, quelle que soit la travée considérée. On

peut aussi poser entre trois coefficients (a) consécutifs, et les trois

coefficients (y) relatifs aux mêmes appuis, une équation dans laquelle

n'entre aucune longueur de travée ; il suffit pour cela d'éliminer le

rapport —- entre les deux équations qui lient

d*une part, et

de Tautre.

Pour cela on donnera à ces équations la forme

et la divi^on éliminera les longueurs de travées :

171. Les nombres o^,, y»» sont positifs ou négatifs, suivant que n est