PROPRIÉTÉS
^ ment la moindre solution en nombres entiers de l'équation indéterminée X* — Ay* = 1, A étant un entier donné non carré (la solution 0? = 1 , y = o étant écartée), on obtient toutes les autres solutions au moyen des formules générales
Si Ton fait A = 3, la moindre solution en nombres entiers de l'équation ^ — 3y' --= 1 est j7 = s, q^=z i , et substituant ces valeurs dans l'expression précédente de y^ il vient
Comparons ce résultat à la valeur générale des termes de la série (a) ; nous voyons qu'on a en valeur absolue
donc les valeurs successives de a sont respectivement égales aux valeurs successives de y , et par suite i + 3a*j^^ est toujours un carré. Exemples :
1 + 3 X A» = 49 = 7% 1 + 3XÏ?= 676 = 26*, 1 +3x56* =9409 = 97*.
I 17&. Lorsque toutes les travées sont égales, si n est leur nombre, , la série (a) se termine au terme a^^ ; et la série (y) comprend les nombres a eux-mêmes, de telle sorte que
Donc le produit • ^
DBS NOMBRES (a). 3»
deviem daaa ce cas ^al à
et,laissant de côté le facteur 4 qui est constadt, on Yoit queipour une valeur donnée de n, le produit
est le même, quelle que soit la valeur de k.
En d'autres termes, si on écrit sur une ligne horizontale tant de termes successifs qu'on voudra de la série (a) , puis au-dessous les mêmes termes dans l'ordre rétrograde, les déterminants des groupes de quatre termes voisins pris dans les deux lignes sont constants, quel que soit le groupe considéré. Exemple :
1, —4, +15, —56, +209, —780, — 780, +209, —56, + i5, —4, +1, \ X 209 —(—4 X —780)= (— 4 x — 56) — 15 x 209 =Î5*— 66* = — 29iî.
On peut supposer que dans la série (a) l'unité soit précédée du terme o (i) ; si on prolongeait la série d'un terme» on trouverait donc -f- 291 1 ; car le déterminant du groupe
doit être égal au déterminant constant des autres groupes de 4 termes; or il se réduit au terme — (a) . Donc^) = 391 1 ; ce qui est vérifié par le calcul direct.
On peut tirer de là une omclusion intéressante pour les termes a^ dans lesquels l'indice k est pair; prenons les séries
Oi, «fc i, «»^^ «*-ti «*f •*— 1^ *' *•
(1) L'équation générale *fc+4aj j+afc^,=0 permet, en effet, de prolonger la série dans le lena rétrograde; «4=— 4, et «i„i=l font aj^,=0.
324 PROPRIÉTÉS DES NOMBRES (a}.
Le déterminant du premier groupe est égal à — a^; et le déterminant du groupe central
est égal à
Donc on a l'égalité
c'est-à-dire tout terme a^ d'indice pair (ou tout terme impair) est égal à la différence des carrés de deux termes consécutifs de la même série.
Nous avions déjà trouvé
on aurait de même
175. Nous terminerons par la remarque suivante* On a en même temps les deux équations
et
Multiplions la première par a^^^ , la seconde par a», et retranchons; il viendra
c'est-à-dire que l'excès du carré d'un terme de la suite (a) sur le produit du terme précédent et du terme suivant, est constant pour tous les termes; et,en faisant le calcul pour le terme a^ = — 4» on voit que cet excès est partout égal à l'unité. On a en effet :
66*— 16 X 209 = 3136 — 3136 = 1, etc.
