EXTRAITS DU MÉMOIRE
De même, pour l'aotre points C, on trooTerait
Ce = lp,l,* X -^ "^^' ^^'^ + ^*-'> , AC = ^*^* .
1* Considérons en particulier le premier point d. De la formule
AD = ïtî— /.,
7*-i — T*-j •o déduit ^•
DB = /-AD = ^^ /j et DB-AD~ ï»iiL±IiL:2/.
T»-i — Yk-j Y»-i — T*-8
Prenons le milieu I de la travée; nous aurons
DB=IB+1D = AI+1D, a AD = A1 — ID.
Donc
DB-AD=ÎID,
et enfin
ID = ]^'i+tk-^ /,.
* Multiplions ID par AD, il viendra
IDxAD =- T^«(n-i+T.^.^ /^. = ^±L • 2(T*-i— Y*-î* /'*
ou autremen t
D(/ = r ;>tXlDxAD.
Sous cette forme on reconnait que D^ est rordonnéc d'une parabole à axe vertical kdl^
qui passerait par les points A et I, et qui aurait pour paramètre — , comme la parabole
des moments elle-même; l'équation de cette parabole est
y — -^Pk^ (l'*"*^)*
On trouvera le point d k l'intersection de cette parabole avec la verticale élevée ao point D.
De même le point c est à Tintersectlon de la verticale élevée au point C, avec une parabole éuale, IcB, menée par les points I et B, de manière à avoir son axe vertical.
2* Les droites aJ), bC, coupent la verticale du point I en un même point i, qui appartient à la parabole aEdicFb,
Nous avons en effet
. Aa =--M> = -- ip,^»^*-^(y^-*--»), B6 = - M,^. = - lp,l,^ «.,J(,J, + ,,,,)^
Multiplions la première équation par i-^ ^ , la seconde par . «-*-r «n-fc-i ^^
Y*-s oin-*-l
DE M. DE ALZOLÂ. 373
retnaehoos : il viendra
(I) Ag X ^*"''^^*-' = B6x «n-* + «^-^-i,
Mail des équations
1D= ^*-''^X*~»,/u er AD= ïi:il h,
on tire
Le premier membre de l'équation (1) devient par cette substitution, en changeant le signe et en divisant par 3,
quantité égale à li, à canse des triangles semblables aAD^ IDt.
On prouverait de même que le second membre repréf ente la distance du point 1 an point où la droite hC coupe la verticale li. Ces deux distances étant les mémes^ les trois droites Ii , aD, bC, concourent en un même point.
Je dis de plus que ce point appartient à la parabole adeb.
On B, en elTet,
AD fk-i 2Ya-,
On aurait de même »
Rempla^ns VLk et M;^4.i par leurs valeurs, et observons qu'au milieu I de la portée, le moment fléchissant M est donné par la formule
Il viendra, après ces substitutions,
et
* «n-JkY*-! «n-k-iTf*-!
= Ip^/^ FTi^-» («n-i^ -f gn-t-i) + «n-t-i (Tfc-1 4- Tfc~i) ! ,1
= 1 pfc V rf«n-/r-h«.-;c-t)frfc-.4-TA-tn ^ I,-.
Ces propriétés làciUteDt, comme nous l'aTOOS dit ($ 186), le tracé de la parabole oEiFb, et le partage de la travée en cioq tronçons.
FOOTRES D'iGALE I^ISTANCC POSlCSS SUR PLUSIEURS APPUIS (1).
205. Nous supposerons qa'ane poatre eontinne, posée sur plusieurs appuis de niveau, ait une même hauteur dans toute son étendue, f e sera, par exemple, une poutre à double T, dont l'épaisseur des tables^ haute et basse, varie d'un point à l'autre, sous la condition suivante : un poids p étant uniformément réparti par unité de longueur dans toute rétendue de la poutre, les pressions et tensions développées dans les fibres les plus éloignées de Taxe neutre doivent toutes être égales à une limite R donnée. Une poutre ainsi définie est un solide d'égale résistance par rapport à cette hypothèse de distribution des surcharges^ et il satisfait aux conditions indiquées dans le § 144 (seconde solution).
Nous allons chercher les moments fléchissants, et la forme prise par la fibre neutre.
Soit V la distance^ supposée constante, entre la fibre neutre et les points les plus fatigués d'une section quelconque ;
I, le moment d'inertie de la section par rapport à lliorixontale menée dans son plan par son centre de gravité. Cette quantité 1 est variable d'un point à l'autre de la portée totale;
p, le rayon de courbure en un point quelconque de la fibre neutre déformée;
É, le coefilcient d'élasticité;
M, le moment fléchissant en un point quelconque.
Nous aurons toujours la série.d'égftlltés
On déduit de là
= 5! = ÏÏ=E1^.
V p dx*'
RE . ., Er
^ = — , etparsuite * 0 = —-
Les nombres E, v, R sont constants pour toutes les sections.
Donc p est aussi constant en valeur absolue, et la forme de la fibre neutre après déformation se compose d'une série d'ares de cercle de même rayon, raccordés bout à bout. Le rayon p, dont on connaît ainsi tout de suite la valeur absolue, est d^lleurs positif ou négatif : positif, si la région comprimée de la section correspondante est audessus de la fibre neutre ; négatif, si elle est au-dessous.
Négligeant, comme à Tordinaire, (-r-) devant ruoité^, nous transformons
proximation les atcs de cercle en arcs de parabole, et l'équation difirérentielle fibre neutre devient ^
dx'* p'
le signe + devant être pris pour tous les arcs dont la convexité est tournée vers le bas, le signe — pour tous ceux qui sont convexes vers le haut. ^
Les points d'inflexion, ou de non-flexion, de la fibre moyenne sont ceux où la courbure ^
change brusquement de signe, et passe de la valeur d= - à !& valeur q: - • En général^
(i) Voir le mémoire n* SO da tome II (5* série) des Amêlet 4cs ponts et dtsmssies (IS71), par M. Renonst dei Orgi^es, ingénieur det ponts et chaaasées.
DE M. RENOUST DES ORGERIES.
dans une travée AB^ 11 y a deux points d'Inflexion C et D, et la fibre moyenne comprend
trois arcs de cercle : AC, décrit du point 0 comme centre avec 0A= p pour rayon ; CD', qui a pour centre le poinl (y, et enfin D'B, qui a son centre en 0".
Nous appellerons d'une manière générale, pour la travée n« k, t/j^, l'abscisse AG du premier point d'inflexion, et Vj, l'abscisse AD du second.
Nous conserverons d'ailleurs toutes les notations adoptées dans nos précédents calculs, relativement aux poutres de section constante. Nous allons yoir qu'on peut exprimer toutes les inconnues, moments fléchissants, eÎTorts tranchants, déviations angulaires de la fibre neutre, flèches prises par les divers points de la poutre, épaisseurs des tables du double T, en fonction PI» |gg^ de ces abscisses u et v.
Rechtrche des moments fléchissants et des efforts tranchants en fonction de Uk et Yk.
206. L'équation des moments fléchissants dans la travée AB est, pour une charge p^ paiement repartie,
M = Mfr -f Aax — - pfcj:'.
Les abscisses des points de non-flexion sont données en égalant M a 0 : ce sont les racines de l'équation
pk pk ~
Donc
On en déduit
Uk + Vk =
2Aa Pk
et
Ul,Vk=:~~
2Uk
Pk
' Pk
Ak=---{uk + Vk),
Le^moment fléchissant sur l'appui B, qui a \en* k-\-\, se déduit de l'équation (1) en y faisant x=zlj^; mais on peut aussi observer que la seconde des équations (2) le
fait connaître ; car si le moment en A est égal à — ^ x ACx AD, le moment en B est, par la même raison, égal à — ^xBG x BD, et on a par conséquent
Pk
Mj^j = — j- (^ - «*)(/» - Vk).
On aurait, par une transformation semblable de la première des équations (2), l'effort tranchant en B dans la travée AB ; toutefois, il y aurait lieu de changer le signe de la formule ainsi obtenue, pour tenir compte des conventions relatives aux signes des efforts tranchants. On retrouverait alors la valeur connue Ak—pktk*
Gonaidérons le moment fléclilssant sur un appui intermédiaire n* Ac-|-1. Ce moment appartient aux deux travées qui se raccordent sur cet appui ; relativement à la travée
n" k, Bltuëe A gauche, nous avons l'équation (3); relaUfenieDi A la tniTée n* Ac + 1, située à droite, nous pourrons appliquer la seconde dea équations (2), en y changeant k en ÂE + 1. Noua aurons donc alpsi
et par suite, nous avons l'équation générale
relation qui suppose seulement la distribution égale des poids p^ et pi^^ dans chacune des travées.
Équations de la fibre neutre déformée,
