DÉFORMATION ÉLÉMENTAIRE
définitive, l'équilibre exige que l'on ait à la fois les deux équations
2à GG' = ^' 2é GG'— ^^^=^*
les sommes étant étendues à tous les éléments de la section PQ ou P'Q'.
La première équation donne
Sci)xm'm"=0,
OU bien
en observant que dans le triangle m'm"G\ m'G est proportionnel h m' m".
Cette équation est satisfaite d'elle-même, puisque le point 6 est le centre de gravité de la section P'Q*.
Reste à transformer la seconde équation.
Considérons le triangle mm'C, dont les trois côtés sont rencontrés par la droite m" G' G. Le Théorème de Camot nous donnera l'égalité :
m' m" X G'C X Cm = mmT x G' m' X CC' (i).
Remplaçons G'C par le rayon de courbure p de la fibre moyenne avant la déformation. ' *
Le facteur CC est la diiférence p — p' des rayons de courbure avant et après la déformation.
Le facteur G m est égal à la somme p'+ Gm ou à p'+ G'm'; et Ton peut négliger Gw! vis-à-vis de p', à cause des petites dimensions transversales attribuées à la pièce. On remplacera donc Gm par p'.
On peut de même remplacer mrn!' par mm! -Y m^ nil\ ou par
(1) Le Théorème de Camot, connu aussi sous le nom de Théorème de Ptolémée, consiste en ce que, quand les trois côtés d'un triangle ABC sont coupés par une transversale droite abc, le produit des trois segments qui n*ont aucune extrémité commune est égal an produit des trois autres :
A6 X Ca X Bc = Ac X C6 X Bo.
DTNE PIÈCE COURBE. 387.
GG' + m'm", et négliger ni ni* vis-à-vis de GG'; car rallongement relatif -777^- est nécessairement très-petit. Introdaisoi^dans l'équation toutes ces simplifications , il viendra
GG' pxp' \p' p/'
Multiplions par Eco x m' 6', et faisons la somme pour tousies él6«* ments de la'isection PQ; nous aurons, en définitive,
La somme ^((oxG'm'*) est le moment d'inertie I de la section, par rapport à une droite menée dans son plan par son centre de gravité perpendiculairement au plan de symétrie.
Nous trouvons donc l'équation
El
L'équation de la flexion des poutres droites était
A la courbure - prise par la poutre droite , il faut simplement , pour passer à l'équation des pièces courbes, substituer X augmentation de courbure, -, , prise par la pièce courbe. Cette règle a été
indiquée pour la première fois par Euler.
Nous avons supposé Tefiort P égal à zéro. Si cet effort n'est pas nul, il a pour effet de déplacer le plan P"Q" parallèlement à luimême; mais ce déplacement du plan P'Q" n'entraîne jamais pour le point C qu'un déplacement insignifiant; l'incertitude qui règne sur la valeur du nombre E ne permet pas d'ailleurs de l'évaluer avec exactitude. La démonstration est tout à fait semblable à celle que
nous avons donnée en traitant le problème de la flexion des pièces droites sollicitées par des forces obliques (§116). .*
Nous verrons cependant que la forc^P pei^ modii)^r Xnw^ manière appréciable la forme de la pièce fléchie, pai^«félleV.ffi(% longueur de l'élément GG'. *^
213. Pour avoir la répartition des pressions danai la section PQ, on observera que la force P, appliquée au centre de gravité G, perpendiculairement à la section , donne partout une pression uniforme
de Y) P^"' ""^^^ ^® surface (§ 34). Le moment fléchissant M pro-
duit, en tout point situé à la distance Gm' = v de la fibre moyenne, une pression par îinilé de sni-race éj^ale à
Mais
Donc
comme dans une poutre droite, et par suite
Ajoutant les pressions partielles dues à la force P et au couple M« il vient pour la pression totale
formule tout« semblable à celle des poutres droites sollicitées par des forces obliques.
Pour que cette formule soit vraie, il faut regarder R comme positif quand il représente une compression, et comme négatif quand il représente une extension ; v est compté comme positif au-dessous de la fibre neutre, et comme négatif au-dessus.
