DE LA FIBRE MOYENNE

Navier« conformément h la simplification déjà mentionnée, continuait à confondre dsf avec ds. M. Bresse a niontré qu'on pouvait tenir compte cette fois de la variation de longueur des éléments de la fibre moyenne (i). La force P produit sur la longueur ds un raccourcis-

Vds sèment égal à r— ; nous sommes convenus de regarder comme positives les forces P quand elles compriment les fibres ; la fibre ds acquerra donc» par suite de la compression» une longueur ds^ donnée par l'équation :

Nous supposerons, de plus, avec M. Bresse, que la température ait varié d*un nombre t de degrés depuis la pose de Tare; a étant le coefficient de dilatation linéaire de la matière dont se compose la pièce, Télément de Tare devra encore être multiplié approximativement par le binôme {i +cf.x).

De sorte qu'en définitive on a

ds' = ds{i^^){i-^<^).

Introduisons cette expression de ds' dans les équations (5) , puis remplaçons dans (4) les cosinus et sinus par leurs valeurs données par les équations (5) ; nous aurons, en multipliant par (&',

dy'=dy (i - ^) (1 + «) + (e'-e)(ix (i " ^) (1 + «).

ou bien a) ix' = (i-(e'-e) g) (i - 1^) (1 + «T)cte

dy'= (i+(0'-6) I) (i - ^) (1 + ^)dy.

Les équations (7) peuvent se simplifier, en observant que les trois

(1) Becherches analytiques sur la flexion et la résistance des pièces cawrbes. Mallet- Bachelier, 1851.

39i INTÉGRATION DE L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

binômes entre parenthèses ont pour premier terme Tunité, et que les seconds termes sont, avec le signe -f ou le signe — , des nombi*e3 très-petits en valeur absolue; on a donc avec une grande approximation, en supprimant les produits des seconds termes,

et par suite, retranchant Tunité, il vient

(8) dj' — <ix = — (y— 6% — ^dx+ «irfx,

(9) dy'-dy=: + (e'6)dx— ^dy + atdy.

L'équation (3j nous a donné V — 0 par une quadrature ; cette équation contient une constante arbitraire (V^ — 0 J ; substituant dans les équations (8) et (g), on trouvera, par de nouvelles quafj^ures» les valeurs de af — x et j/ — y : zV-

(10) «'-«x=- J(0'-6)dy- J^dx+J]«<ix,

sans nouvelles constantes arbitraires, car 5 == 5^ correspond à l'extrémité de la pièce , c'est-à-dire à l'un des appuis A, où les coordonnées sont supposées invariables.

Navier obtenait seulement le premier terme du second membre de ces deux équations. C'est le terme qui correspond à la flexion. Le second correspond aux variations de longueur de la fibre moyenne ; le troisième, aux variations de la température. La somme de ces termes indique que ces petits eflets partiels se composent algébriquement pour former l'eflet total. Le principe de la superposition des eflets des forces aurait pu conduire directement à poser les équations ( i o) et ( 1 1 ) . ^