CALCUL DE LA POUSSÉE

Calcul de la poussée dans un cas particuliet\

342. Prenons^ par exemple^ un arc de cercle symétrique par rapport à la verticale, et chargé de poids uniformément répartis suivant sa corde AB=2a.

^ Les réactions verticales des appuis sont con-

'^' " ' nues et égaies à pa; les réactions horizontales

' sont égaleF^ mais inconnues: nous les repré-^

*^r^>. \ senterons par X.

P^^ ^^^^ i^j — ""^^^^T^x^ ♦^^ ^^ somme des moments des forces réparties

^'^^ J /^^Sv" - *^" P**'"^ K 8" point M, par rapport à ce

A ^ »' / X /B ^ point M, est donc

M = X X R(cos 8— cos ç) — pa X II (sin ç—sln 6)

,,^9 /' 4-lpR*(dn(p-8ine)«

r ^''' / = RX cos 0 + Rpci sin 0

1/ — pR« sin 9 sin 8 4- - pR«8ln«6 — RX cos 9

tI — Rpa sin ? + - pR* sin* 9.

La compression se calcule de même :

P = XcosO-t-pasinO — pR(8in(p — 8in8)sin6. On en déduit

EÛ«5 = — RX^__- cosOrfe— Rpa\__ sinWô+pRtsinçV sinecfe-pR«\ 8in«»r/«

*/» VT 1/T l^T

= — RX (sinO 4- 8ln(p)-f Rpo(cos0 — cos?) —pR* sin 9(003 6— cos 9)

-j^ - -(sin 29+ Sin 20) J.

** = P + K+Ëii-

X(sin6+8in9) , pa , ^ v i^I^ . , «

= P ^^ — gô ^ +^ (cos 8- cos 9) -|^ sin 9 (cos 8 -cos 9)

sin6 + sin9^ , pa , . , pU . * . ^"R

= p ^^ — ïX+g^(cos8-cos9) — |^sm9Cose+^sm9COS9

+ — / sin8 + sin9 — co8?(8+.9) ^ cosft — cos9 + sin9(8 + 9)

+ '^^in9[co88-coa9 +^8109(8+9)] +i^' [iii-i (sin 2Ç+9in29)^^

La fonction U est égale à \ (R«0 — ô») slnOcW

=PR-h— |;,|^«in6+Binç— C089(6 + 9)J ^ fcose — cosç + sinçCe + ç)!

Multiplions par 8ln6(/6, et Intégrons entre les limites — 9 et 6: il vient U=Pr\^ »jn6</e+— f l8ln«ed6 + 8in9Sinerf6— co89(0 + 9)sin6d6)l

R»Ar8 •^"'^

ET V- ^^'^*®®*"^^"-<^*9 8inO(W + sin9(6 + 9)8in6rfe)]

*ï"?\ rcosOsinÔd'ô — cos9SinOrfe + 7 8in9(0 + 9)8lnOûfO)l + 2 gj- 1 V -«-^«inedO — .(8in2e + 8in29) sinOrfô ,

OU bien

U = - PR (cosO— COS9) + — [-j^— j (8in2e+8in29) j- ^ 8in9(co8 6— CO89) R'X Rïna 1

— — C08? (slu8 + 8ln9 — e cosO — 9CO80) ^ - (8in2ô-,8in29)

rr*^*9(C086 — CO89) j^8in9(8in6+8ln9— 8cos8— 9CO89)

RV« pR* 1

+ T7-98in?(co88 — 008?) -h^ sin 9-(8in28 — 8in29)

+ — sin 9 cos 9 (CO88 — CO89)

1 pB* 1 ;)R*

+ -— 8ino(sin6+8ln9 — 8cos6 — 9CO89) — 7'— ^ 9Sin9(cos8— COS9)

•iwR^ri . 1 1

"^ 2 ET U^**"^ "^ 8in9— 8co80— 9CO89+ -9tco88— CO89) ~8 ETLâ^ ''~3 Ëï S'" 2? (ces 0- cos 9)1.

Les deux inconnues p et X se détermineront en exprimant que SO = 0 pour 6 = 0^

h cause de la symétrie de la pièce et de la distribution des charges, et que or =. 0 au

ffx point B, c'cst-à-dire que — 5* — U = 0 pour 0 z= 9.

On aura donc ii la fois les deux équations : « o 8in9^ . pa ^ pR . . pR . pR /? Pin29\

' R«X , RV, . X ;>R' / oslnsX

+ — (sln9-9C089) ^(1 — c0S3+98in9)4- — 8in9M — cos 3 + ^-j-^j

2 El V2 4 '^"

DE Là poussée. 44

" "ET L^**"^"?^^®'?) \ j4«in9 J - - sln» ç J — (sin ç— ç cos ç) sin ? — ggcosç ( <p

* 2co8ç8iii(9 . R« / sln2ç . ^ • • \

# — j^— + gj ^9--2^+2çc08ç-2?cos«9)

Cette dernière éqaation fait coDDaltre la poussée borixontale de l'arc, et la valeu aiosi trouvée, aubstitaée dans réquatlon précédente, donne la valeur de la constante f

Comparaison avec les équations de M, Bresse,

243. L'équation (S) coïncide avec celle de M. Bresse et celle de Navier, en néglignai tous les termes contenant Bs. Il vient alors simplement

on bien, si l*on rétablit la notation ordinaire,

e'-0=P4-\--rf* (équation (3) du § 2 14).

Les équations (8) se ramènent aux équations qui donnent x'~- x, t/ — y. Pour cel remplaçons dans les équations (8) le rapport — par —/*(«) = — — f ax, 11 viend

Wj: = (/x/— — -f aTJ - rfyôe, àdx = cfy |- ^ + axj + dxôe,

d'oùf'on tire, en intégrant,

fM fM p fM

8x = — \ rfyôe-^ — dx ■\- \ atdx ,

;a /a Eu ;a

*M rM p fM

5y z= +\ dj^f^--\ —dy +\ axdx,

ou bien

Ci Cs P V *

a:' — x=— \ dy{e' — 0)-.\ --(/a: + \ axdx,

Çs r* P c* ,

y'-y=4.\ rfa:(e'-e)-\ -^dy+X axdx,

équations identiques aux équations (10) et (11) du S 215. En résumé, la seule modi cation introduite par la nouvelle méthode est celle qui consiste à compléter la vale

de e' - e par Tiiitégrale V t- d{s' — s).

442 PIÈCES COURBES

PIÈCES COURBES. —MÉTHODE DE M. BELL (l).

244. Soit AB la fibre moyenne d*un arc élastique, que nous supposerons posé en A et

pj 2f^ en B sur deux appuis. Appelons X et Y les

composantes 9 Tune horizontale, l'autre

o L T i> \ verticale, de la réaction du point A, et

; ~ " - - - considérons sur Tare un second point M

J[ quelconque. L'arc AM sera en équilibre

K|- — - -î sous Taction des forces X et Y, des forces

\y données réparties de A en M, et des forces

^^ , \ développées dans la section M. Ces der-

I ^ '^ N nières forces sont équivalentes à la résul-

' ^' - -^ j 'J^ tante changée de sens des premières. Nous

' pouvons les réduire en général à une force

^ unique^ appliquée en un point M' situé sur

la verticale du point M, et telle que Ton ait, en décomposant cette force suivant Thori-

sontale et la verticale,

Q X MM' = X X MI - Y X MK + jA,

H étant la somme des composantes horizontales des forces données,

V la somme des composantes verticales^ positives quand elles agissent de haut en bas ,

et |i la somme de leurs moments par rapport au point M.

Soient OP = ar, PM=y, PM' = y',

et soient OL = m, LA = fi, les coordonnées du point A. On aura les trois équations :

X^ Y, sont des constantes, ainsi que m et n. H, V, {i sont des fonctions de x et de y. D'ailleurs» y et a; sont liés entre eux par l'équation de la courbe AMB. Éliminons y et Q entre Téquation (1), l'équation (3) et réquation de la courbe. L^cqaation finale entre y' et y sera l'équation du lieu du point M'. Le tracé de cette courbe auxiliaire, que M. Bell appelle courbe d'équilibre^ aidera à trouver le moment fléchissant en un point quelconque de Tare. Il sudlra, en effet, de faire le produit de la force Q, composante horizontale de la poussée au point M, par l'intervalle MM' compris sur la verticale entre les deux courbes.

It y a un cas particulier très-important pour la pratique, celui où toutes les forces extérieures appliquées à l'arc sont verticales. Dans ce cas, H = 0, et Q est une quantité constante. Alors le moment fléchissant est proportionnel à l'intervalle des deux courbes.

La courbe d'équilibre passe par les points A et B si l'arc est simplement posé sur ses appuis; car en ces points le moment fléchissant doit être nul.

M. Bell a déduit de cette remarque une méthode de calcul des pièces courbes. Dans les formules qui donnent SO, Sx, 6y, certains termes contiennent les variations de lon-

(*) 0» the ttrutes of rigid archet^ Hc., by William Bell (Institutioa des iDgénieurs civils de Londres séance da 5 décembre 1871, toI. XXXIII, n* 1507).