ARCS PARABOLIQUES
245. Supposons an arc rigide AOB, posé en A et B sor deux appuis, et symétrique par
rapport & la Tçrticaie OY qui passe à égale distance de ces deux appuis. Supposons d'abord que cet arc soit uniformément chargé, en projection horizontale, à raison de p unités de poids par unité de longueur. Soit 2a la portée AB, / la flèche 10. Proposons-nous de déterminer la forme à donner à cet arc pour que le mompqt ^ ' fléchissant M soit nul en tout point de la
fibre moyenne.
Soient â:=:ON, y=NM les coordonnées d'un point quelconque JH.
Appelons Q la poussée horizontale^ qui est la même aux points A et B, puisque l'arc n'est sollicité que par la pesanteur.
La composante verticale 'des réactions des appuis sera égale à pa.
On aura donc pour le moment fléchissant en M
NL
M = Qx(LB-NM)-paxLN4-?xNLx— ,
ou bien
M = Q(/'-y)-pa(a-x) + p
Pour que M soit nul en tous points^ Il faut qu'on ait identiquement
0/^-Qyf ^*-Ç=o.
On satisfait à ces équations en posant
et
pa* yv pà*
Qy=4-- ou l>ien 7 = -;,
équation d'une parabole à axe yertical, passant par les trois points A, 0, B.
La poussée horizontale, ^ est égale en valeur absolue à la tension horizontale d'un
câble parabolique de pont suspendu.
Dans ces conditions le moment fléchissant est nul en tous points, et la résultante des forces, y compris la réaction de l'on des appuis, est la force P de compression tangente à la
fibre neutre; elle est égale à ^QM-p^îË*. Sa valeur maximum a lieu au point B. Elle est alors égale à v'Q* + p'û'«
Le rayon de courbure au point 0 est égal à -^.
Les moments fléchissants ne prennent une valenr dilTérente de zéro que quand les charges sont inégalement réparties. Cherchons, par exemple, ce que deviennent les moments lorsqu'on enlève la charge sur la moitié de la portée.
PIÈGES COURBES
Dans ce cas. les deax poosiés horizontales Q'^ Q' des appols A et B sont encore
égales^ et conformément à une remarque faite par M. Bresse sur les charges non symétriques (§ ?21), Q' est la moitié de la poussée Q correspondante A la charge complète. On a donc
0 = ^ . Les réactions Terticales Af
des appuis sont inégal<*s. Leur
somme est pa, et comme le centre
de gravité de la charge est situé sur
la verticale du milieu de la deml-
corde AI, l'appui A porte jpa,
et Tappui B^ - pa.
Nous pouvons donc tracer sans t&tonnement la courbe dVquilibre de M. Bell. Cette courbe se composera de deux lignes distinctes. Do point B au point 0^ portion où l'on suppose qu'il n'y a aucune charge appliquée, la courbe ne sera autre chose que la direction da la résultante des forces Q' et - pa. Ce sera donc une droite, et cette droite
- pCL
passera au point 0'; car le rapport des composantes — r est égal au rapport - = 7-.
Le moment fléchissant est donc nul encore au point 0.
Du point 0 au point B, la courbe est une parabobe tangente en 0 à la direction DO prolongée. Prenons, en effet, un point M quelconque, défini par ses coordonnées
ir = — OP, y = PM.
Le moment M, par rapport à ce point, des forces qui agissent sur l'arc MOB, est égal à la somme algébrique
M = Q'x(/*-y)--/>ax(û-a-)+ ^pxK
pa,^ Divisant par Q'= ^, on aura, en grandeur et en signe, la longueur MM' de l'inter-
▼aile compris entre la courbe d'équilibre et la fibre neutre. Appelons 1/ l'ordonnée de la courbe d'équilibre. Nous aurons, en divisant par Q',
équation qui se réduit à
C'est l'équation d'une parabole tangente en 0 à la direction - = - , c'est-à-dire à OB;
