ENVELOPPES

plaques et des membranes élastiques. Les équations générales contieïinent à la fois les deux courbures de la surface vibrante; ce sont des équations aux différences partielles, qui ne peuvent s'intégrer que dans quelques cas particuliers.

Le problème de la résistance des enveloppes de chaudières est beaucoup plus élémentaire, et c'est la seule question que ringéiiieur \it à étudier. En général, les chaudières ont une forme cylindrique ; elles sont terminées dans la longueur par des parois de forme courbe, et il s'agit de déterminer quelle tension se développe dans le métal lorsque la pression de la vapeur contenue dans V enveloppe atteint sa limité extrême. Nous examinerons successivement les cas principaux qui peuvent se présenter» en nous bornant aux plus siipples.

248. 1*' Cas; — Enveloppe cylindrique indéfinie à profil drcU'' laire^ soumise à df^ pressions normales unifojfiniiément réparties.

Par l'axe 0 du cylindre, faisons passer un plan quelconque MN Fig. 221. qui coupe l'enveloppe suivant deux géné-

ratrices A et B. Les efforts développés dans la matière suivant ces deux génératrices sont égaux entre eux, et indépendants de la direction du plan MN, à cause de la symétrie du profil et de l'égale répartition des pressions.

Supposons d'abord l'enveloppe soumise à une pression intérieure égale à p unités de poids par unité de surface ; appelons p le rayon de la surface intérieure de l'enveloppe et e l'épaisseur du métal. Soit enfin R l'effort moyen par unité de surface développé dans le métal.

En ne considérant qu'une longueur de cylindre égale à l'unité, on voit sur-le-champ que les sections faites par le plan MN suivant les deux génératrices A et B doivent développer une résistance totale sRe, égale à la résultante des pressions exercées sur Tune des moitiés du cylindre. Or la somme de ces composantes est égale au produit de la pression p par le diamètre intérieur ap de la chaudière. On a donc Re = ;?p, équation qui détermine la tension R.

Si la pression j9 s'exerce à l'extérieur de la chaudière, la même équation détermine encore la compression R de la matière par unité de surface, en ayant soin de prendre pour p le rayon extérieur de l'enveloppe, parce que c'est sur la surface extérieure que s'exerce la pression.

Si la pression p existe à l'intérieur, et qu'une pression /)' existe k l'extérieur, on aura, en appelant p le rayon de la surface interne et p' le rayon de la surface externe,

éqiâtfion où les valeurs positives de R correspondent à des tensions» et les valeurs négatives à des pressions dans la matière de l'enve* loppe.

En général, la différence p' — p est assez petite par rapport à p pour que l'on puisse remplacer p' par p dans le second membre de l'équation, ce qui donne :

(«) Htf = p(p-P').

Ce résultat suppose que la lension R est également répartie dans l'épaisseur des parois A et B de l'enveloppe. Il est facile de remarquer que cette répartition égale n'est admissible qu'approximativement, et seulement lorsque l'épaisseur e est très-petite. En effet, chaque arc infiniment petitycb, pris sur une circonférence

quelconque A' G' F, se trouvant soumis à une tension égale à R par unité de section, subit

ds un allongement égal à Rx ^. L'allonge-

Fig. 222.

. ment total pris par la circonférence exté- "' ^ ^ " '' rieure A'G'B' est donc égal à ^^ x |,

et l'allongement total pris par la circonférence intérieure est d^ même égal à stcp x ^. Les deux circonférences, dont les rayons sont p et p' dans l'état naturel, doivent donc, par suite de l'ex-