ENVELOPPES
tension, prendre des rayons respectivement égaux à on +#)}
(R \ 1 + 5 ) » et Tépaisseur primitive p' — p devient égale à
(p' — p) ( 1 4- u j , c'est-à-dire qu'elle augmente dans le même rap-
port que les éléments de fibi*e.
^ Or nous avons vu (§ i5) qu'une tige, tirée par une force dans le sens de sa longueur, subit, en même temps qu une extension, une contraction latérale. La paroi entière de la chaudière, étant soumise à un tel effort, doit diminuer d*épaisseur, tandis que l'hypothèse de la répartition égale des pressions sur toute l'épaisseur a pour conséquence géométrique et nécessaire un accroissement d'épaisseur.: cette hypothèse conduit donc à une contradiction.
Lorsque l'épaisseur p' — p est très-petite par rapport au rayon, rinégalité des tensions dans les diverses fibres de la paroi est peu accentuée, et Ton peut sans erreur considérer la tension en un point quelconque comme sensiblement égale à la pression moyenne. Il n'en est plus de même lorsque l'épaisseur est trèsforte; alors l'inégalité devient plus grande, et les fibres intérieures subissent une tension beaucoup plus élevée que les fibres extérieures. La paroi tend à se déchirer eu commençant par les fibres du dedans.
Cet exemple nous montre que la solidité des chaudières ne croît pas proportionnellement aux épaisseurs ou aux quantités de matière. Si Ton double la pression de la vapeur dans une chaudière, il ne suffit pas, pour assurer la môme résislance à l'enveloppe, d'en doubler l'épaisseur; il vaudrait mieux changer la matière de la paroi et adopter des matéi iaux plus résistants, pour avoir toujours une épaisseur moindre, et pour produire la répartitioji de tension la plus égale possible (i).
249. Répartition des efforts dans les chaudières cylindriques
(I) Of s*'«.
indéfinies à base circulaire. — Un prisme soumis à une extension subît une contracHon latérale dont le coefficient peut être déterminé, soit par la théorie mathématique de l'élasticité, soit par Texpériétfce. Supposons iei ce coefficient connu.
Soit, par exemple, un prisme rectangulaire de longueur égale à Tunité, d'épaisseur très-petitQ et de largeur indéfinie; s*il est sollicité par une . force uniformément répartie sur sa base, à raison de R unités de poids par unité de surface, sa longueur primitive, i , de-
viendra sous cet effort i + p» ^^ son épaisseur décroîtra de la frac-
lion m/rp de sa valeur primitive, E étant le coefficient d'élasticité de
la matière, m le coefficient de contractibn, égal à - , d'après M. de Saint*Venant; d'autres auteurs, Wertheim, par exemple, le font égal à ^; d'autres encore le font égal à j (Cf. §16).
Appliquons ces données à une chaudière indéfinie, cylindrique, à Fig. 223. base circulaire et infiniment mince; soient jo
et y ;=jo + dp^ les pressions par unité de surface à l'intérieur et à l'extérieur; r le rayon intérieur OA , t^ = r '\-dr le rayon extérieur OA'; soii enfin R la tension par unité de surface, développée dans la matière suivant les sections diamétrales AA', BB'.
La tension R nous seia donnée par l'équation d'équilibre de la demi-chaudière :
%Kdr = ^pr — gpV = 'ipr — 2(p + dp) (r + dr) = — 2d(pr},
donc
dr
La circonférence de la chaudière, subissant cette tension en tous
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points, s'allonge dans le rapport de i à i -f- pr» ce qui donne an rayon r un allongement
(2) or = rXg;
maïs en même temps la contraction s'opère, et Tépaîsseur ér varie de la quantité Mr^
(3) Sdr = — mdrxrr.
Ces résultats sont applicables à chacun des anneaux concentriques
infiniment petits dans lesquels on peut concevoir décomposée la
couronne annulaire formant la section transvei*saie d'une chau^ère
d'épaisseur finie AB (fig. 224).
Soient OC = r, OD = r -f dr^ le rayon intérieur et le rayon exté-
Fig. 2ii. rieur d'un tel anneau CD. Appelons p la près-
sion (rapportée à l'unité de surface) des anneaux intérieurs sur l'anneau CD; ;> + ^ !& pression des anneaux extérieurs.
Les équations (i), (2), (3) seront applicables.
Différentions l'équation (2) ; il viendra
mais
dorzizdrx g + ^X^;
dZr = 8Jr = — mdr =; ,
donc
(4) (i + 7n)Rdr -h rdR = o ,
et par suite
dR , ^ ,dr
eu bien
A l^) ^ == JaT»' ^ désignant une constante arbitraire
Substituant cette valeur de R da|É|hréquation (i), il viendra une équation qui fera connaître p en fonction de R. On a en effet
d(pr)= — Rdr = - ^^^
yi+m'
d'où l'on déduit, en intégrant,
et
r mr"*+*
G étant une nouvelle constante.
Les constantes A et C se détermineront en exprimant que, pour r = OA = r^, rayon intérieur de la chaudière, Jd=/?^, pression intérieure, et que, pour r = OB = r, rayon extérieur, p =/?j.
On a donc à la fois
Po = r +
donc
et la répartition des tensions sera donnée par la formule (5), où l'on mettra pour A la valeur (7) :
R est nul lorsqtfon a à la fois />o = o, /?, = 0,. et plus généralement, quand pjr^ =Pi^x' On voit qu'il n'est pas nul A Ton a simplement p^=p^- Si pj''^>p^r^, R décroît de l'intérieur à Textérieur. La pression ;>, exercée par un anneau sur l'anneau voiôn» est donnée
