THÉORIE DE COULOMB

équilibre. La plus ancienne méthode de vérification de Téquilibre d'une voûte est attribuée au célèbre géomètre De La Hire, qui mourut en 1 7 1 8 ; malgré les défauts de cette méthode, elle fut longtemps suivie, et est encore recommandée dans les ouvrages de Bélidor (mort en 1761); c'est seulement Coulomb qui la compléta, en faisant paraître, Vers la fin du siècle dernier, son Essai sur une application des règks de maximis et de minimis à quelques problèmes de statique relatifs à ^architecture. Coulomb étudie dans ce mémoire les lois de la résistance des piliers, des murs de revêtement et des voûtes, en tenant compte du frottement et de la cohésion des diverses parties de ces massifs. Jusqu'alors, lorsqu'on avait décomposé les voûtes en plusieurs fragments pour s'assurer de l'équilibre particulier de chacun d'eux, on avait opéré arbitrairement ces décompositions; Coulomb employa les méthodes analytiques pour chercher les décompositions les plus importantes à considérer, c'est-à-dire celles qui mettent en évidence les points les plus faibles de l'ouvrage. Ses recherches sont rationnelles, et ont servi de point de dépai*t aux études plus récentes.

268. Lorsqu'on fait abstraction du frottement, une voûte infiniment mince peut être assimilée à une courbe funiculaire en équilibre. C'est ce qu'avait observé Grégory dans les Transactions philosophiques. La chaînette étant la courbe d'équilibre d'un fil soumis à l'action de la pesanteur, lorsque son poids par unité de longueur est constant dans toute son étendue, il suffit pour avoir une voûte /en équilibre de supposer la chaînette renversée, et le fil remplacé par une série de voussoirs infiniment petits, tous égaux entre eux etayant leurs joints normaux à la chaînette qui leur sert de ligne moyenne ; la réaction mutuelle des voussoirs remplacera la tension du fil, et l'équilibre subsistera encore. Coulomb, qui rapporte cette remarque de Gregory, la généralise, et démontre que, s'il n'y a pas de frottement entre les voussoirs, l'équilibre d'une voûte infiniment mince, soumise à des forces quelconques, est assuré en donnant à la ligne moyenne delà, voûte la forme d'équilibre d'un fil sollicité par les mêmes forces prises en sens contraire. Soit AB la courbe moyenne; menons dans son plan deux axes OX, OY, de coordonnées rectangulaires; consi-

ANALOGIE AVEC L^ÉQUILIBKE D'UN FIL. i91

dérons un arc infiniment petit MN; puisque, par hypothèse, il n'y a

pas de frottement, la réaction des deux voussoirs

Fig. 234. . ,

. qui se touchent en M est tangente à la courbe AM

£ au point M; et si Ton appelle S cette réaction,

dx elle aura S ^ pour composante suivant OX, et

dy S -^ pour composante suivant OY. De même la

réaction mutuelle dans le plan de joint N aura pour composantes suivant les axes

-(s|+..si) .. -(s|w.s§).

Si donc on désigne par Xcb, Yc&, les valeurs de la force appliquée à L'arc MN, laquelle est du même ordre de grandeur que cet arc iiû^ même, on aura pour équations d'équilibre

Yds.

Or si Ton supposait que la courbe AB fût la figure d'équilibre d'un fil soumis aux forces — Xcfe, — ïcfej on trouverait pour l'équilibre deux équations toutes semblables, où la pression, S, des voussoirs serait remplacée par la tension, T, de la courbe funiculaire. II y a donc entre les deux problèmes une complète analogie.

Hais cette analogie n'est plus aussi évidente lorsque les voussoirs exercent les uns sur les autres des actions obliques, c'est-à-dire lorsqu'il y a lieu de faire intervenir le frottement.

260. Après les recherches analytiques de Coulomb, vinrent les recherches expérimentales de Boistard, qui s'attacha surtout à mettre en évidence le mode suivant lequel une voûte se déforme et tend à se rompre. L'observation des voûtes construites a montré que généralement une voûte en plein cintre ou en anse de panier tend à

«i92 MÉTHODE DE M. MËRY.

s'ouvrir vers Tintrados à la clef, et vers l'extrados 2mx joints de rupture^ lesquels sont situés à peu près à 30 degrés d'inclinaison sur l'horizon ; elles se partagent donc en quatre morceaux : les deux morceanx du centre tendent à s'abaisser, tandis que les deux extrêmes tendent à s'écarter latéralement. Dans les voûtes en arc de cercle, la clef tend encore à s'abaisser, et les joints des naissances tendent à s'ouvrir en lézardant la maçonnerie des tympans. Des effets inverses se manifestent dans les voûtes en ogive.

270. La théorie des voûtes a reçu de M. Méry, ingénieur des ponts et chaussées, un perfectionnement des plus importants (*) ; M. Méry est l'auteur d'une méthode géométrique exclusivement suivie aujourd'hui, et connue sous le nom de Méthode de la courbe des pressions. C'est une sorte de traduction graphique, d'une clarté parfaite, des diverses opérations que l'on a à faire pour vérifier Téquilibre, quand on suit la marche tracée par Coulomb. Elle a l'avantage de mettre en évidence les points où la théorie demande de nouveaux perfectionnements. Enfin elle se prête à la résolution de tous les problèmes qu'on peut se proposer sur les voûtes.

La théorie de la courbe des pressions a été exposée par M. Méry dans les Annales des ponts et chaussées^ année i84o.