DE M. A. DURAND-CLAYE

les ordonnées représenteront les seules valeurs admissibles de la poussée à la clef, quand la réaction du joint cd passe au point a. Nous pouvons de même prendre, à la même échelle, sur la perpendiculaire à cd^ des longueurs oÂ^ ^B^) respectivement égales aux composantes normales des réactions FP, GQ; ces longueurs et les longueurs intermédiaires seront les valeurs successives de la réaction normale au point a, lorsque le point d'application de la poussée à la clef occupe toutes les positions possibles sur le point Corf^.

Nous pouvons répéter toutes ces opérations sur tout autre point du joint cd\ à chaque position correspondra une courbe A« B, des valeurs de la poussée à la clef, et une série d'ordonnées portées sur la normale à la surface du joint au point a, donnant chacune la valeur de la réaction normale correspondante. Imaginons qu'on ait opéré ainsi pour tous les points du joint cd ; nous obtiendrons en définitive à la clef une infinité d'arcs de courbe, qui seront tous compris entre les deux courbes extrêmes a, p^ et y, 8,, correspondantes l'une au point c, l'autre au point rf; et pour le joint crf, une infinité d'ordonnées, comprises entre deux séries d'ordonnées-limites, dessinant les deux arcs-limites a^y,, p. 8.. La première condition d'équilibre de la voûte exige que les résultantes des réactions subies par le fragment de voûte cdd^Co^ sur ces faces cd^c^d^y percent les joints crf, c^rfo» suivant lesquels ces réactions s'exercent; nous pouvons donc exprimer cette condition en disant que F extrémité de la droite qui représente^ à t échelle^ à partir d un point du joint c^do, la poussée horizontale à la clef^ tombe dans t intérieur du contour fermé a.p^S.y,, et que [extrémité de la droite qui représente^ à la même échelle^ à partir dun point du joint cd, la composante nor^ maie de la réaction totale subie par ce jointe est comprise dans t intérieur du contour fermé oL^P^Bi^i. Remarquons qu'il y a correspondance entre les deux quadrilatères a^Sy : le sommet a. correspond au sommet a., le côté a,p, au côté «.p^, le côté a.y, au côté a^y^.

281. Faisons usage de la troisième condition, celle qui est relative à la limite des pressions locales (§ aaS). Nous avons vu (S 66) » . «> comment cette condition, pouvait se traduire géométriquement lors-

que la surface d'appui est rectangulaire. Au point 0, milieu du Fig. t43. joint cd^ prenons à l'échelle, sur la perpen-

diculaire Oa> , une longueur Oco égale à la force qui , répartie uniformément sur la surface rectangulaire de ce joint, donne une pression de R kilogrammes par unité de surface, égale à la limite pratique de la résistance des pierres. Aux points m\ n\ tiers du joint, prenons deux longueurs m'm, n'n, égales à la moitié de Oco. Joignons par des droites les points c/n, cm, et prolongeons-les par les arcs d'hyperbole tno», Ma>, tangents à ces droites en m et en n. Le contour cmtond donnen pour chaque point de passage de la résultante la valeur-limite admissible pour cette force estimée perpendiculairement au joint.

Appliquons cette construction sur notre épure au joint cd^ et à la clef Cod»; nous obtiendrons les deux courbes-limites Co^od.^ et ctad.

Fig. 244.

^ \ ^ rr'i 2S^ •

En vertu de la première condition d'équilibre, la composante normale au jointes/, doit aboutir dans Tintérieur du polygone a,^^SjV<; en vertu de la troisième, elle doit aboutir en dedans du trait continu ccod ; donc, en vertu des deux conditions prises ensemble, elle doit aboutir en un point intérieur au polygone "S^'pV^', commun aux aires des deux polygones pris séparément. Cette limitation de la pression normale à cd entraîne une limitation correspondante de

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la poussée en c^ d^ ; car la connaissance de la réaction normale en un point du joint cd permet de définir en grandeur et en position la poussée à la clef (i). Fsdsant usage successivement, par exemple» des pressions normales qui correspondent aux points p',x'» ^'»'®'\ on en déduira les positions p, ^, o* et ^w^, des extrémités des poussées horizontales qui leur sont conjuguées; les points pet ^ appartiendront au côté a.y,, qui, comme nous l'avons observé, correspond à la courbe a,Yj ; et de même o* et ^ seront situés sur le côté p,8„ qui correspond à la courbe ^,8,. Les courbes po-, ^/(/^ pourront être tracées par points en suivant une marche analogue et correspondront point pour point aux courbes o-p'^eè^'^'. La poussée à la clef, ainsi limitée au contour p^^tt^x^ et limitée d'ailleurs au contour d^ta^Co par la troisième condition, aboutira en définitive dans l'intérieur de la partie pqsr commune à ces deux contours. De cette limitation de la poussée à la clef résulte une nouvelle limitation de la réaction normale au joint cd\ car aux points p, 9, 5, r, correspondent les points P, Q, S, R, et aux courbes pr^ gs, les courbes PR, QS; de sorte que l'ensemble des deux conditions dont nous avons tenu compte se traduit géométriquement de la manière suivante : t( faut^ pour que C équilibre du fragment de voûte soit possible^ que les extrémités des droites représentatives de la poussée et de la réaction normate soient respectivement comprises daîis tintérieur des contours conjugués pqsr, PQSR.

282. Nous n'avons pas fait intervenir jusqu ici la seconde condi-

(1) Voici comment on peut^ en général, déterminer géométriquement la poussée à la clef qui correspond à une composante normale donnée p'n. En un point quelconque, 0,

prenons sur la verticale une longueur 00' éga*e au poids Fig. 245. ^e la yQûte cdd^CQ, estimé à l'échelle; traçons au point 0'

une horizontale indéfinie O'X; menons par le point 0 une perpendiculaire OY au joint cd, et prenons sur cette droite une longueur OP égale à la valeur donnée p'n de la composante normale. Au point P, élevons PR perpendiculaire à OP; cette droite coupe en R la droite O'X, et Joignant OR, on aura en O'R la poussée horizontale à la clef, et en OR la réaction du joint cd. On mènera ensuite une parallèle à RO par le poiut n; elle coupera la verticale FF' en un point qui sera à la hauteur du point conjugué sur le point Co'/q.

lion, celle qui est relative à Fangle du frottement, ou au glissement de la voûte sur les plans de joint. En général elle est remplie dans

Fig. 246.

la pratique, lorsque les plans de joint sont dirigés normalement à l'intrados : mais on peut aussi l'introduire dans la méthode de M. Durand-Claye. Il suffit en effet, pour en tenir compte, d'exclure toute direction de la réaction du joint qui ferait avec la normale un angle supérieur à l'angle du frottement; un exemple montrera comment on doit opérer. Aux points c et d, menons sur la droite cd des normales cN, dN', et faisons de part et d'autre de ces normales des angles Ne/, Ne/', N'd^, N'd/"'', égaux à Fangle du frottement. Si le point d'application de la réaction est en c, on voit sur la figure que la seconde condition sera remplie quelle que soit la position de la poussée àla clef; car les directions extrêmes Fc, Gc, sont toutes deux comprises dans Tangle fcf*. Il n'en est pas de même pour le point d : la réaction Fd y est bien encore comprise dans l'angle /"d/^, mais la réaction Gd serait extérieure à cet angle. Si donc on construit la courbe y.S, qui correspond au point d, il faudra l'arrêter au point m, à la hauteur de la plus basse poussée ml, qui, composée en I, avec le poids de la voûte, donne pour résultante une réaction Id faisant avec la normale Tangle f d\' égal à l'angle du frottement.

Par le point G menons la droite Gft, parallèle à df. Le point k donnera la limite à partir de laquelle la poussée horizontale appliquée en c„ cesse d'être admissible. Construisons la courbe A,B, correspondante au point k ; la portion utile de la droite p«8« sera