ET ÉVALUATION DES SURFACES

Mais les triangles AP^Q^ , AGQ, , ayant même base AQ^ , sont entre eux comme lem*s hauteurs, lesquelles sont proportionnelles aux segments de la diagonale P^G déterminés par l'autre diagonale; or MO et NO sont respectivement égaux' aux tiers de ces segments, et par suite on a la proportion

8iirf^A^Pj^ MO surf. AGQ, ""NO*

En rapprochant ces deux relations, et observant que

MO + NO =MH + NH = MN,

on en déduit l'égalité

MH=NO.

Fig. 256.

2» -L'aire du trapèze AP^Q^G peut s'obtenir, soit en multipliant la den^-somme des bases AG -{- Q, P, par la distance des bases, soit en prenant le produit de l'une AQ^ des diagonales par la projection de Tautre sur une perpendiculaire à la première. Comme on cherche à représenter les poids pai* des lignes droites, on réduira tous ces rectangles à une même dimension arbitraire, et l'autre dimension sera proportionnelle à la surface.

Soit, par exemple, ab la longueur de l'une des diagonales, et bc

la longueur de la projection de l'autre sur une perpendiculaire à la première.

Le quadrilatère aura pour surface le produit abxbCi c'est-à-dire qu'il sera équivalent au carré construit sur l'ordonnée bd de la demi -circonférence décrite sur ac comme diamètre. Si l'on veut réduire tous les rectangles analogues à une dimension commune be, il suffit de joindre de, et d'élever au point d une perpendiculaire df sur de. La dimension bf représentera l'aire du quadrilatère, et par suite le poids de maçonnerie correspondant à cette aire.

s» EMPLOI D'UN POLYGONE

288. On pourra représenter de cette façon les poids qui a sar la demi-voûte par des droites finies, verticales, passant par let centres de gravité de chaque surface partielle. On cherchera al<»» la résultante de tous ces poids. Le théorème des moments permet de calculer la posîtioa de cette résultante; mais on peut la trouvor exclusivement au moyen de constructions graphiques.

Soient T,, T,, T,, T^ 1^ positions de quatre forces données, qu'il s'agit de composer.

Considérons la force T, comme appliquée en un point déterminé H, de sa direction, et appliquons en ce poiot une force quelconque U, faisant un certain angle avec T,. Le parallélogramme construit sur les forces T, et U donnera la résultante V, de ces deux forces : prolongeons la direction de cette résultante jusqu'au point H,, où elle reocontre la direction de la force T,î composons V, et T,, ce qui nous donnera la direction et l'intensité de la résultante V, ; transportons de même le point d'application de la force V, en H, sur la direction de T, ; composons V, et T,, ce qui nous donnera V„ que nous composerons en Hj avec T, pour avoir V». Cette construction peut être prolongée aussi loin qu'on voudra; on parviendra toujours à déterminer une force V, lulle, que le système formé par toutes les forces T,, T,, T,, T„ par la force U et la force — y^, soit en équilibre. Car — V^ est égale et contraire à la résultante V^ de toutes les autres forces. Donc )a résultante des forces U et — V^ est égale et contraire k la résultante des forces T,, T,, T,, T,, et si l'on prolonge les directions de U et V,, ces deux droites se couperont en un point 0^, qui appartiendra à la direction de la résultante cherchée.

On prouverait de même que le point de rencontre, 0, , de U et V, ap-