AUX JOINTS DE TÈTE
DoDc au point (or, y, z)^ pour lequel T équation (i) est satisfaite, la fonction
ydx — xdy dx •
qui représente l'ordonnée à l'origine de la tangente à la courbe (4) et (5) , est égale à
quantité indépendante de Tangle a, et qui, par suite, convient à toutes les positions de rhélicoïde autour de Taxe OZ, ou à toutes les surfaces des joints continus.
Donc, les tangentes aux courbes dintersection des surfaces des joints continus avec les plans de tête, menées aux points où ces courbes dintersection sont rencontrées par une surface cylindrique concentrique à [intrados, concourent en un même point, situé sur la verticale passant par le sommet de tête, au-dessous de taxe de t intrados.
Ce théorème a été découvert sur les chantiers de construction par le tracé même de T épure.
L'expression
peut se transformer en
R tg 9 tg p,
en appelant (p l'angle constant des hélices avec les génératrices du cylindre de rayon R; en effet
(]} \\ est remarqaable qu'on troDTe ane expression semblable à Rtg^tg^ en traitant iD autre problème relatif à rhélicoïde gaache à plan directeur : celui où Von cherctw
315. Si Ton passe d'uD cylindre de rayon R à un cylindre de rayon R' pour obtenir une autre série de points des joints de tète, la distance au point 0 du point de rencontre commun à toutes les
la projection sur le plan directeur de la courbe de contact de la surface avec un cylindre circonscrit.
Soient
IX = mz\ V = nz f
les équations d'une direction donnée, parallèlement à laquelle on doit mener un cylindre tangent à la surface. En général^ si ¥{x, y^z) = 0 repréiente réquation d'une surface, les équations de la courbe de contact avec le cylindre circonscrit mené parallèlement à celte direcliou, sont
f/F </F (Jï
(/x dy dz
Lorsqu'il s'agit de rbélicoide gaucho à plan directeur, la fonction F a pour expression
F= -rr- +a-arctg^,
et par suite la seconde équation de la courbe de contact est
2t. (xî -f yî) — h (m.y — nx) = 0.
Cette équation ne contenant pa» z est IMquation de la projection sur le plan directeur de la courbe de contact cherchée; elle représente une circonférence qui passe par l'origine des coordonnées, et dont le centre est situé sur une droite ny + mx = 0, perpendiculaire à la projectionjwy — nx = O^de la direction donnée sur le plan des xy. U diamètre de cette circonférence est égal à
ou &
Rcot «ptgY,
en appelant Y l'angle de la direction donnée avec Taxe OZ derhéliroîde, et 9 Tançls constant formé par riu'lice directrice tracée ?ur le cylindre de rayon K avec les génératrices de ce mémo cylindre. Ces deux théorèmes se démontrent géomêtriquenjcnt avec uwe grande facijilé.
HÉLICOIDAL.
tangentes varie dans le rapport de R* à R'* ; cette remarque fournît un moyen de construire les courbes de joints sur la têle.en y substituant des tangentes successives.
Faisant d'abord Régal au rayon de la section droite de Tintrados, Fig. i7o. on prendra sur la projection paral-
lèle ii la tète, au-^dessousdu centre, une quantité 01 = Rtgçptgp. Si M est un point de division de la courbe de tête, la droite IM sera tangente au joint de tête en M.
Coupons le plan de tête par un cylindre concentrique à l'intrados, qui donnera sur ce plan une ellipse A'B'C semblable à l'ellipse de tête ABC ; le rayon IV de ce nouveau cylindre sera égal au demi petit axe OB' de cette ellipse. La tangente IM prolongée rencontrera cette ellipse en un point M', que l'on pourra sans erreur sensible regarder comme appartenant à l'intersection de la surface du joint. Pour mener une nouvelle tangente à l'intersection en M', il suffit de déterminer le point de concours r des tangentes qui correspondent au rayon R'. Pour cela, prenons OD = R = OB; joignons ID, et élevons sur cette droite au point D la perpendiculaire DE, qui rencontre en E l'axe OB prolongé. Prenons ensuite OD' = OB' ; joignons ED' et élevons une perpendiculaire DT sur ED' au point D'. Cette droite rencontrera la direction 01 en un point V qui sera le point cherché.
En effet, les triangles rectangles EDI, EDT, où les droites OD, OD' sont abaissées perpendiculairement des sommets de l'angle droit sur l'hypoténuse, donnent les égalités
ÔïT =0Ex01, ÔF' = OE X 01';
ilonc
ÔF
ôd;
Ou pourra pousser aussi loin qu'il est nécessaire la constmction précédente, et tracer une ligne polygonale trës-voisiae de la d'intersection que l'on se propose de déterminer.
HECBBBGUE DE L'aKGLE SOCS LEQUEL SE KENCOnTREin' LE lOIKT DE ISTE
ET LE jcmrr de douelle.
316. Soit M un point de division de la courbe de tète; HP, la tangente au joint de tète, laquelle, prolongée, va couper la verticale passant par la clef en un point I connu de position ; MT U tangente
à l'hélice du joint continu qui aboutit au point H; enfin H6 la génératrice rectiligne du cylindre d'intrados. 11 s'agit de déterminer l'angle PMT.
Les plans PHT, TMG, GMP forment un angle trîëdre dans lequd on déterminera les faces THG , GHP,et le dièdre MG sous lequel elles se coupent. La face PMT, opposée à ce dièdre, se déduira, soit des formules de la trigonométrie spbérique, soit de la construcUon graphique de l'angle solide.
