INTRADOS DE RÉVOLUTION
317. Dans les voûtes dont l'intrados est une surface de révolution engendrée par un arc de cercle ou d'ellipse, ou par toute autre courbe concave vers le bas, tournant autour d'un axe vertical fixe tracé dans son plan, les fotnts continus sur l'intrados dessinent les parallèles de la surface de révolution, et les joints discontinus, des a7Ts de méridiens. Contrairement à ce qui a lieu pour une voûte en berceau, il n'est pas nécessaire pour l'équilibre que la voûte soit fermée. Dès qu'une assise quelconque est entièrement montée, on peut arrêter la pose à cette assise sans compromettre la stabilité de la portion posée.
Considérons une portion de voûte de révolution KLAD, comprise entre le lit des naissances LK et un lit quelconque de joint continu. L'anneau ABCD, formé par la dernière assise posée, forme un système matériel dont le poids est tenu en équilibre par les composantes
verticales des actions exercées sur cet anneau par les assises inlérïeures. les composantes horizontales de ces mêmes actions, concourant au centre de l'anneau, exercent sur lui une compression uniforme.
Appelons ta l'ùre de la secUon ABGD, obtenue en coupant l'anneau par un plan méridien ; p ]a distance du centre de gravité G' de cette section à
l'axe OZ de la voûte ; p le poids de l'unité de volume de la maçonlierie dont l'anneau est composé.
Le volume de l'anneau sera wx a np, d'après le théorème de Guidin, et son poids, par conséquent, aicpu^. Soit F la réaction mutuelle de l'anneau et de l'assise sur laquelle il repose, rapportée à f unité de longueur prise sur la circonférence moyenne M du joint;
p' le rayon de cette circonférence moyenne ; a, l'angle formé par la réaction F avec \ le plan horizontal.
La somme des composantes verticales ^ des forces F est donc égale à
FxSîcp'xsio",
"* de sorte qu'on a l'équation d'équilibre Snpuip = Sicp'F Bin a;
Kk. ît:.
Psias = up X -,.
Les composantes horizontales des forces F exercent sur l'anneau ' une pression normale représentée par le produit Fcosa, pour l'unité de longueur prise sur la circonférence snp'. D'après un théorème connu, la résultante de ces actions normales exercées sur une demi-^
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circonférence est normale au diamètre qui ferme cette demi-cireonférence, et égaie à
F ces a X 2p'.
Si donc on appelle K la pression par unité de surface dans la section Cl) de l'anneau, on aura
Rfa) X 2 = F C06 a X 8pV
et par suitet
„ F ces tt X p'
1^ — • ^^"^m^mm^^mt^i^ ^
tû
Cette équation est tout à fait semblable à celle qui détermine la pression moyenne dans une enveloppe de chaudière cylindrique, comprimée sur toute sa surface par une force normale F cos a, rapportée à Tunité de longueur du cylindre (§ 248].
Partageons la voûte en fragments égaux, infiniment petits, par des plans méridiens faisant entre eux un angle ^e. Deux plans consécutifs Om, Om' isolent, dans la portion de voûte comprise entre les naissances et l'assise inférieure de l'anneau central, un fragment de voûte en berceau de longueur variable, mais partout infiniment petite ; la poussée appliquée au voussoir le plus élevé de ce berceau a pour valeur F X p' X d6, et fait avec l'horizon l'angle a. Composant cette poussée avec le poids du fragment de voûte, appliqué en son centre de gravité, on a la pression développée sur un arc infinimeni petit du lit des naissances.
Ne connaissant à priori ni la force F ni Tangle a, on a pris arbitrairement le point M où cette force s'applique; prenons de même le point I, où passe la réaction de la voûte sur les naissances. Ces deux points achèvent de déterminer toutes les inconnues du problème. Nous supposerons qu'on prenne le point I au milieu du joint LK, comme on a pris le point M au milieu du joint BG.
La composante verticale de la force Fp'rf9 se détermine au moyen de l'équation
F8ina = fupx ^,
qui donne ,
Représentons cette force par la droite verticale MV.
La composante horizontale MN de la mûme force est encore inconnue*
Prenons pour axe des z Taxe vertical OZ de la surface de révolution qui forme l'intrados, et pour axe des x, une droite OX, menée par une origine arbitraire 0, perpendiculairement à OZ, et dans Tun des plans méridiens qui limitent latéralement l'élément de voûte. Désignons sommurement par z la portion £F de l'ordonnée correspondante à une abscisse quelconque x=OH , portion comprise entre Tintrados et Textrados de la voûte, ou enire Tune de ces deux surfaces et la surface d'un joint.
La distance MP du point M à l'axe de révolution, ou l'abscisse du point M, est ce que tout à l'heure nous avons appelé p'.
Le centre de gravité 6 de l'élément de voûte compris, d'une part, entre les joints BG et KL, et de l'autre entre le plan de la figure et le plan méridien voisin, a pour abscisse, x,, la quantité donnée par l'équation
I pxzdxâb
OÙ p est le poids spécifique de la maçonnerie de la voûte, et où les intégrations sont étendues à tous les éléments du contour profilé en BCKL
Le poids de l'élément BGS.L est appliqué verticalement à ce point G, et est égal à ^pxzdxdfi. Représentons-le par la force 6U.
Les forces MV, 6U, connues toutes deux, sont parallèlles, et oni pour résultante une force ST égale à leur somme ; cette force ST, dé* composée suivant les deux directions SM, SI, donne à la fois la. composante horizontale de la force Fp'dQ, et la réaction de l'élément de voûte sur le lit des naissances.
Toutes les forces que nous avons considérées ont pour facteur
^'^' VOUTES
commun de, dont on peut faire abstraction dans la composition de ces forces; on composera la force MV = pci)p, verticale et appliquée • en M, avec la force GU =^pxzdx^ verticale et appliquée en G; la" résultante ST, verticale aussi, sera connue de grandeur et de posi-l tion. En la décomposant suivant les directions SM et SI, la compo-f santé suivant SM sera égale à Fcosaxp', c'est-à-dire à Kto. Li' construction donne donc le produit Ko, et fait connaître par suite' la limite K de la compression dans l'anneau.
Connaissant les deux composantes de la force T, on pourra en déduire la force F en grandeur et en direction, et tracer ensuite la courbe des pressions dans le profil compris entre les joints BC et £L, en ayant toujours soin de prendre pour poids des éléments de voûte, les poids qui correspondent à la section donnée par le profil, multipliés par leur distance à taxe OZ, altération par laquelle on tient compte des variations de la longueur de la voûte profilée en BGLK.
En résumé, dans une voûte de révolution, le dernier anneau posé est soumis à un effort différent de ceux qui se développent dans le reste de la voûte; il fait voûte à lui seul contre la poussée horizontale de cette partie; dans celle-ci, les pressions se répartissent comme dans une voûte en berceau, sauf l'introduction d*un facteur dans l'expression des poids des éléments du profil. Ce partage de la voûte est d'ailleurs hypothétique, et on peut en imaginer d'autres^ par exemple, on peut regarder la voûte comme formée d'anneaux successifs subissant chacun une compression. Le docteur H. Schaeffler a développé cette solution (i).
Lorsque la voûte est entièrement fermée, la clef remplit les fonctions de l'anneau central. Elle est comprimée sur toute sa surface. On peut aussi isoler par la pensée une calotte quelconque, qui résistera à la poussée de tout le reste de la voûte. Mais il est impossible d'admettre que la courbe des pressions parte directement de l'axe OZ, car il en résulterait qu'une pression finie serait appliquée sur une arête et non sur une surface, ce qui reviendrait à faire subir à la matière une pression infinie.
(1} Traité de la réiistance des matériaux par la théorie de la moindre résittance.
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