DES EFFORTS DANS UNE POUTRE A TREILLIS

F la force d'extension à appliquer dans le même plan à la table inférieure J^es jprœs à appliquer aux deux tables dans le plan voisin M'N seronrftirigées en sens contraires de F et de F, et seront respective-

ment égules k¥+ -f-dx^ F + -r- cho, en vertu de la continuité que

> nous avons admise. '^

Nous sommes conduit à -faire ici une première hypothèse, celle de la répartition uniforme des pressions et des tensions, entre toutes les barres du treillis aux points où elles sont renconti'ées par un même plan vertical, ce qui revient à substituer une pression et une tension moyennes aux pressions et tensions différentes de chaque barre prise en particulier. Soit n le nombre des barres montantes^ ou des barres descendantes^ rencontrées par une même verticale, le système montant et le système desceoMt Comprenant un nombre égal de barres; ' soit a l'angle constant qu'elles font avec la verticale, les unes dans un sens, les autres en sens contraire. D'après notre hypothèse, il suffira de considérer deux fdtces cet ff\ dirigées,la première suivant chacune des barres du système montant, la seconde suivant chacune des barres du systèmeràescendant. Il est facile de prévoif , et le calcul nous démontrerait au besoin, que si l'une est une force de compression, l'autre est une force d'extension. Ces forces cp et ç' se retrouveront dans les barres du treillis à la rencontre du plan M' N', dirigées en sens contraire et augmentées de leurs différentielles (i).

Nous désignerons par p le poids de la poutre par unité de longueur^y compris la surcharge, de sorte que pdx sera le poids total de l'élément limité par les plans MN, M'N'.

Enfin H représentera la distance des forces horizontales F et F ; si les actions moléculaires étaient uniformément réparties sur la section des tables, la quantité H serait la distance des centres de gravité dt ces sections.

(I) Notre analyse ne suppose pas nécessairement qne les forces 9 et 9' sont les mêmes daiM tontes les barres d'un même système à la rencontre d'une même verticale. Il suffit, poor qu'elle soit admissible, que la résultante de tontes les forces 9 et 9' appll* qnées aux divers points d'une section verticale, eonpe cette verticale i une même hantenr dans toute section.

6i0 KQUATIONS

361. Nous allons écrire les équations d'équilibre des forces qui a^ sent sur l'élément considéré ; ^^es équations, sont aii nom&B dt trois, puisque les forces peuvent ètrç supposées contenues dans le plan longitudinal moyen de la ferme. Le problème consiste à troVv^ Jes i valeurs des quatre forces F, F, cp, ff. en fonction de l'abscisse x, el .1 Ton voit sur-le-champ qu'au point de vu^ analytique ce problème est indéterminé, puisque la statique ne fournit que trois équations entre quatre inconnues. L'équilibre intérieur de la poutre est donc possible d'une infinité de manières, et ce sont les diverses circonstances de la pose et de l'ajustage des pièces qui achèvent dans I chaque cas particulier de déterminer le problème. Une nouvelle hypothèse est donc nécessaire pour compléter la solution, et nous choisirons celle qui la simplifie davmntag(^

Prenons les composantes horizontales des forces agissant sur l'élément de ferme; nous aurons l'équation

qui se réduit à

\dx dxj dx dx ~ '

Cette équation nous montre qu'indépendamment de toute hypothèse nouvelle, la fonction w((p — ç')sina + F — F est constante dans toute retendue de la poutre. Cette force horizontale se retronve donc tout entière à Textrémité de la poutre, et doit y être équilibrée par la composante horizontale de la réaction de ia culée ; mais nous admettons que la poutre pose sur ses appuis sans y exercer de poussée latérale, et par suite la fonction n (cp — «p') sina -f F — F, ^k à zéro sur la culée, est nulle en tous points de la portée.

On satisfait très-simplement à cette condition en posant F = F, ce qui entraîne en même temps ç = ç' ; et c'est cette hypothèse que nous adopterons pour acheter la détermination des inconnues. Oo voit qu'elle consiste àadmettreque, dans les poutres à treillis comme

i^ans les poutres pleines, la compression d'une des tables est égale à l'extension de la table opposée ; il en résulte l'égalité des pressions et des tensions dans les deux systèmes de barres du treillis. Nous . n'avons plus alors que deux inconnues F et ^ ^ et les équations des composantes verticales et des moments nous en font connaître les valeurs.

1* Équation des composantes verticales (i) :

^9C08a = p{2x + Sn(9 + -A^} cosa,

laquelle se réduit à l'équation suivante :

(i) 2ng2co8« + p = 0.

t"" Équation des moments, pris par rapport à un point quelconque, le point D, par exemple.

La somme des moments des forces appliquées aux deux tables

par rapport à ce pomt est égale à — -r- ^ X H. Nous donnons le

signe — à ce moment, parce que la force qui / entre seule tend à faire tourner de droite à gauche son point d'application autour du centre des moments.

Le poids pdx^ dont la direction passe par le point D, a un moment nul.

Les an forces f, appliquées en difiërents points du plan MN, ou une résultante verticale, montante, et égale à ancpcosa. Les sn

forces ((f + -J dx] , appliquées en dififérents points du plan M'N',

ont une résultante verticale , mais descendante , et égale à

an [^ + -r dx] cosa. La somme des moments de ces deux forces

(1) Nous négligeons, suivant Tusage adopté par les conatracteori, la portion de rëtittance à TeHort tranchant développée par les tables.