ÉQUATIONS
par rapport au point D est positive, et égale à Texpression
« m dç dx
2n<p ces a daf + 2n -3^ ces a x -rj-t
ax M
qui se réduit à son premier terme en effaçant le lerme infiniment petit du second ordre.
L'équation des moments est donc en définitive:
dF
L'équation (1) donne la loi de variations des forces f , et montre que (f est une fonction linéaire de l'abscisse x; l'équation (i) exprime la loi de variation des forces F, et montre que F est une fonetioD entière du second degré de cette même variable x. Ces deux équations peuvent d'ailleurs s'interpréter autrement : le produit HF est en efifat le moment fléchissant dÔ la poutre dans le plan MN, et «nç cos« est \ effort tranchant dans ce même plan. Désignant par M le moment de rupture et par A l'effort tranchant, les équations (1) et (2) se transforment dans les deux suivantes :
dA + p<2x = 0, dM = Ac2z,
lesquelles sont les équations générales applicables à toutes les poutres droites (§io3)|tandis(que les équations (1) et (a) ne conviennent qu'aux poutres à treillis.
L'intégration des équations (1) et (2) est facile, et introduit deux constantes arbitraires qu'il faut déterminer dans chaque, cas particulier.
L'intégrale de l'équation (1) est
^ """*** 2/1 CCS «»
la constante arbitraire f ^ est la valeur de la force f pour â; = 0. S donc on prend pour origine des abscisses l'aplomb de la culée, f, est la force développée dans une barre aboutissant à la culée, et la somme sncpoCosa des composantes verticales des forces f, est
D^ÉQUILIBRE, ' ^>i9
égale à la réaction de la culée, ou à - />/, / étant la portée de la poutre ; donc
in cos a*
et
2n cos a
Cette équation nous apprend que f est nul au milieu de la portée, et change de signe d'un côté à l'autre de ce point ; les barres d'une même inclinaison sont donc comprimées dans une des moitiés de la poutre et étendues dans l'autre moitié.
En substituant dans l'équation (2) cette valeur de ç, on parvient à l'intégrale suivante :
HF=|px(/-x).
La constante arbitraire introduite par l'intégration est nulle ici, parce que la poutre est simplement posée sur la culée à partir de laquelle on compte les abscisses. On reconnaît sur-le-champ que F est nul pour ar = o et pour 3; =/, c'est-à-du-e sur les culées, et qu'il est maximum pour a:= / — x, c'est-à-dire au milieu de la portée.
Nous avons ainsi trouvé les formules générales qui donnent ç) et F,
et reconnu que <f varie proportionnellement aux ordonnées, x^
d'une ligne droite, tandis que F varie proportionnellement aux ordonnées, a: (/ — a:), d'une parabole à axe vertical : résultats utiles en ce qu'ils permettent de construire une épure qui indique en chaque point la valeur des forces auxquelles la matière de la poutre doit être en mesure de résister.
S62. Avant de pousser plus loin la discussion des équations (1) et (2) , nous observerons que le calcul aux différences finies ne nous aurait pas conduit à d'autres résultats que ceux que nous venons de formuler. Pour ce calcul, dx devrait être remplacé par une quantité
