EQUILIBRE INTÉRIEUR
supposerons constant. Si p était variable, il faudrait au moins qu*il fût constant dans tout l'intervalle compris entre les milieux de deux entre-boulons successifs, et Ton devrait lui donner Tindice du boulon qui partage en deux la longueur à laquelle le poids p se rapporte; cette hypothèse revient à supposer les charges concentrées sur les boulons ;
û, la longueur constante (Vun entre-boulon quelconque ;
A, la hauteur de la pouiri, mesurée verticalement entre les lignes d*axe des deux longerons.
Nous pourrons écrire les conditions d'équilibre, qui sont au nombre de trois :
Équation des composantes horizontales :
H4, — F»-, -t- Pk-i sin a + Qfc, sin a = lU — F» + P| sin a + Q» sin «.
Équation des composantes verticales :
P»i CCS a -f- Qi CCS a =r pa -f Qt, ces a -f P* CCS «.
Équation des moments par rapport à un point quelconque, par rapport au point B, par exemple:
(Ht-i— IhA-f-(Pk-, — ÛO^sina = 0.
399. Ces trois équations ne comprennent pas R^t ; pour déterminer cette force, il faut supposer le boulon coupé, et poser les équations d'équilibre des forces qui agissent sur l'un des points A ou 6 pris isolément. Pour n'avoir pas à distinguer plusieurs cas, suivant que le poids pa de l'entre-boulon est appliqué tout entier en haut des fermes, en A, ou tout entier concentré au point B, ou enfin partagé entre les deux longerons, nous supposerons qu'on connaît d'avance la décomposition du poids p entre les deux longerons, et nous appellerons p' la portion de ce poids qui s'applique au longeron supérieur, et p" la portion qui s'applique au longeron inférieur. Le complément
de réLude des pressions se fera donc au moyen de Tune ou l'autre des équations
(P*-i + Q*)cosa = R» + p'a, (Q*, = PO CCS a + p'a = Ri ,
qui r(3nirent Tune dans l'autre en vertu de la seconde équation posée plus haut, puisque ji + P' = P*
AOO. Laissant de côté pour le moment la recherche de la tension Rj-, nous avons trois équations pour lier entre elles les quatre forces II,,, Qji, P^, F^, de Tentre-boulon n** /*, avec les quatre forces H*i, Oa,, P;;,, Fa i, de Tentre-boulon précédent. Si l'on suppose connu ce second groupe de forces, il faudra, pour achever de déterminer les quatre forces du premier groupe, attribuer une valeur arbitaire à Tune d'entre elles. L'indéterminalion du problème est facileà expliquer, en observant qu'on est maître, en serrant plus ou moins les écrous, de donner aux boulons telles tensions R^ qu'on veut; de là résulte une nouvelle série d'équations qui, jointe aux trois premières, achèverait de déterminer les quatre inconnues. Nous sommes donc maîtres de faire une hypothèse sur le règlement des pressions dans les barres, et celle que nous ferons consistera à admettre que la compression de la barre qui descend de droite à gauche dans le croisillon est nulle pour chaque entre-boulon ; nous poserons en conséquence
Qi-, = o et Q* = 0.
Nous nous plaçons ainsi dans le cas-limite où les barres qui descendent de gauche à droite reposent sur les coussinets sans y exercer aucun effort. Les équations se simplifient dans cette hypothèse et deviennent :
{{) IU-.H»,-{Fi.-F, ,) + (P,— Pfc,)sina = 0,
(2) [Pi — Pu ,) cos a 4- ;)a = 0,
(3) Ha-Hi., = Pa jsina.
L'équation (2) donne la loi de variation des forces P d'un entre boulon à l'autre ; l'équation (5) donne la loi de variation de la force H, ou de la compression dans le longeron supérieur ; enfin si l'on remplace
7i9S EQUILIBRE INTERIEUR
dans Téquation (i) la différence H^^ — H^t.i par sa valeur fournie par Téquation (3), on a l'équation :
(4) • F\-bV,-P4sinac = 0,
qui indique la loi de variatiou des forces F.
On remarque sur-le-champ :
1* Que la différence V,, — ?k-i est négative et constante; nous supposons ici que p est constant dans toute Tétendue où nous considérons la poutre ; la valeur générale de la quantité variable P est donc donnée par les termes d'une progression arithmétique dont la
pa
raison est — ;
cosa
2*» Que la différence U^ — Hjt, est égale à P*iSina; les différences des valeurs successives de la variable H sont donc les termes successifs de la progression arithmétique P sina, et par suite la valeur générale de H est donnée par la formule de la sommation des termes de cette progression ;
3*» Que la différence F;t — Fic-i est donnée par la fonction P^sina, laquelle représente aussi le terme général de la même progression arithmétique, avancé d'un rang.
Ces remarques permettent d'écrire les expressions générales de la valeur des inconnues
(5) p, = p,--££-(A-i), ^ ' « 1 cosa ' '
(6) l!,= U, + (A-i)P,sina-i^i:=-i|^^l^;;tga.
(7) F* = F, + ik - i)P, sin a - fclll p ig a.
Les constantes P,, Hj, F^ qui jusqu'ici sont arbitraires, doivent être déterminées de manière à satisfaire aux conditions de l'équilibre extérieur de la pièce sur ses appuis.
âOl. Achevons la solution pour une poutre à travée unique ayant
une portée / divisée en n entre-boulons, égaux chacun k -.
DES POUTRES âMËRIGâINES. 713
Le poids pa étant supposé appliqué à deux demi-entre-boulons successifs, nous admettrons que les deux demi-entre-boulons voisins des culées ne supportent aucune charge, ou que leur charge est directement supportée par les culées. Le poids total qui pèse sur la poutre est donc seulement pa (n — i), et par suite les réactions des
culées sont égales à ^ ^ ^K La réaction de la culée de gauche
s'exerce sur la poutre par l'intermédiaire de la barre montante du croisillon n*" i, de sorte que l'on a pour l'équilibre :
OU bien
pa(n~ ij
Substituons cette valeur dans l'équation (5), en y fusant k= i, puis éliminons P« , il viendra
^*^ ^'- 2cosa -
Pa doit toujours rester positif, car les barres inclinées n'étant que posées sur les coussinets, ne peuvent exercer sur eux qu'une pression, et non une tension. La formule (8) ne doit donc être employée que jusqu'à la plus grande valeur de k qui donne pour Pi^ un résultat positif.
Deux cas sont à distinguer ici, suivant que n est pair ou impair.
Si n est psdr et égal à an', la plus grande valeur qu'on puisse assigner à A; est n', et l'on a
pa n — i *""cosa 2 *
p =.P^!Lzl
• COSa 2 '
• p pg w—s
» "" CCS « 2 *
714 ÉQL'ILIBRE INTÉRIEUR
Au delfi du boulon du milieu de la portée, P deviendrait négatif, ce qui est impossible; il faut admettre alors qu'il y a interversion entre les rôles des barres des croisillons, ce qui du reste est d'accord avec ia symétrie de la poutre et de la charge par rapport au plan vertical qui divise la portée en deux parties égales : ce sont donc les barres montcintes qui doivent reposer sans pression sur les coussinets dans toute la seconde moitié de la travée.
Si n est impair et égal à an' -j- 1 9 1^ plus grande valeur qu'on puisse attribur à k est n\ et Ton a
* COSa 2 •
ces a
Le terme suivant, P/^.,, serait nul, et les termes au delà serûent négatifs; ce qui démontre que dans les poutres à un nombre impair d'entre-boulons, les deux barres du croisillon central ne portent rien, et qu'il y a renvei sèment dans les rôles des deux barres d'un côté à l'autre de ce croisillon central.
On remar([uera aussi que les pressions P^^, P„', . P„' ». ..P, , soijt proportionnelles aux nombres impairs successifs, lorsque n est pair, et aux nombres naturels si n est impair.
402. Les formules (6) et (7) font connaître les valeurs générales (le H et de F dès qu'on a assigné les valeurs convenables aux constantes H^ et F,. Dans le cas spécial dont nous nous occupons, on remarquera que lli doit être nul puisque le longeron supérieur ne vient buter sur aucun point qui puisse y développer une pression, et que la force Fj doit tenir en équilibre la composante horizontale P,sin a de la barre inclinée du premier croisillon ; cette condition est nécessaire pour que la poutre rei)Ose verticalement sur sa culée sans exercer sur elle de poussée latérale. Donc F^ = P,sina. Introduisant ces valeurs particulières dans les équations (6) et (7), il vient
DI':S POLTKKS AMÉIUCAI.NKS. 715
H. = patg.(<!L±ll(*-i)-*l*fi').
On observera, d'après ces relations,. que F^ = H^^., , de sorte que les deux séries de valeurs de H et de F sont coniposées des mêmes nombres; mais cette relation doit être modifiée à partir du milieu de la portée, comme nous le reconnaîtrons plus bas.
âOS. La solution que nous venons de donner est complète pour toute poutre américaine à croisillons simples, reposant sur deux appuis de niveau, lorsque les poids égaux qu elle porto sont concentrés sur les boulons. Nous y ajouterons cependant une remarque qui nous semble conduire à une méthode plus élégante et plus rapide pour le calcul des coefficients de pa tg en dans les valeurs de H^ et de F^.
Ces coefficients sont coniposés de deux termes : le premier est lo terme général dune progression arithmétique; le second est, au signe près, le terme sommatoire de la progression arithmétique des nombres naturels de i à k — i ou à L Les deux termes pris ensemble forment, comme nous allons le voir, une série récurrente, dontréchelle de relation est facile à déterminer.
Plus généralement, soient deux progressions arithmétiques :
(a) m, m-\-t, vi + Zi, , m-\-(l—i)t, ,
et proposons-nous de trouver la loi de formation de la série {u) obtenue en ajoutant le /"• terme de la progression (a) à la somme des /premiers termes de la progression {b}; si Ton appelle Ui le /•"• terme de cette nouvelle série, on voit que la difl'érence ui — m,, de deux termes consécutifs de la série (w) est égale au /"*• terme de la série [b) augmenté de la diflerence constante des termes de la série {a). Donc les différences secondes des termes de la série (?/) sont constantes et égales à la différence constante de la série {b) ; donc enfin les différences troisièmes sont constamment nulles, et Ton a ])ar conséquent entre quatre termes consécutifs
716 lîlMl'LOl
Telle est la loi au moyen de laquelle on déduira chaque terme de la série {u) d&s termes précédents.
Il résulte de là que les termes de la série {u) sont les coefficients numériques de la lettre ordonnatrice x dans la série qui l'on obtient en divisant un polynôme du second degré en x parle polynôme i — 3a? +3^:* — a:*, qui n'est autre chose que le cube du binôme i — x.
En effet, on a identiquement :
(U| + ti,x + tt,x« + u^a* + + w,x»-> + )
— 3Uj
