X -+- u, — 3tt, + 3m

Le produit n'aque trois termes, car lescoe(ricientsw^—3w,+3f/,—ti,, M,-^3w^ + 3w, — w, , etc., des puissances de x supérieures à la seconde sont tous nuls en vertu de la relation générale entre quatre termes consécutifs de la série (w). .

^1» ^1» *^8 peuvent être exprimés en fonction des arguments des séries {a) et (i), et le polynôme du second degré que Ton obtieiii pour produit est égal à l'expression

M = (m +/) + (^— 2m + 0 -/)x + (m — Ox«.

Si donc on divise ce polynôme par i — 5x+5x* — a:', en les ordonnant Tun et Tautre par rapport aux puissances ascendantes de x^ les coeflicients numériques de x dans les termes successifs du quotient seront les valeurs des termes u^^ t/,, t/,.... de la série cherchée.

404. Pour revenir de ces généralités à la recherche spéciale des coefficients de paiga dans les expressions de H et de F, nous remarquerons que, dans ce cas particulier, les séries (a) et (A) deviennent :

là) 0, - I, -2, -3,

DES SÉRIES RÉCURRENTES. '^'^

de sorte qu'on a

Donc

et la division de ce polynôme par i — 5x-{- 3x' — x* donnera les valeurs numériques des coefficients dcpatga dans l'expression de H; pour en déduire les valeurs des coefficients applicables à F, il faut avancer d'un rang dans la série (i).

(1} On peut encore transformer cetlc méthode en décompoMut en fi actions siuiplei la fraction rationnelle

Oo a en effet idenUquement, A, B, G étant des constantes ,

A + Ba:+Ca?»__A-fB + C B + 2C. C

de sorte que les eoefliclents de x dans le quoUent sent respectttemeut égani aux soromsB des coefficients des dételoppements des fractions

et

multipliées respectivement par les constantes

A + B + C, - (B + 2C) et C.

En efléctuant les divisions, on trouve les trois suites indéfln|es

! — . = 1 + 3x + 6a;' + irx* + l&a:* + îia:» +.

— = 1 + 2x H- 3x« -f 4x» 4- 5a;* + Ci» +